Grundlegende Eigenschaften der Landau-Symbole.

Es sei

(M, d)

ein metrischer Raum,

X \subset M

und

x_{0} \in acc (X)

. Wir betrachten die Funktionen

f, f_{1}, f_{2}, g : X \to K^{n}

sowie

ψ, γ : X \to K

mit

K \in {ℝ, ℂ}

und

n \in ℕ

. Es gelten folgende Regeln für das Rechnen mit den Symbolen

o

und

O

Theorem 3.2.2. $\begin{array}{rcl} f \overset{x \to x_{0}}{=} o (g) & \Rightarrow & f \overset{x \to x_{0}}{=} O (g), & (3.6) \\ f_{1} \overset{x \to x_{0}}{=} O (g) \land f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} O (g) & \Rightarrow & f_{1} + f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} O (g), & (3.7) \\ f_{1} \overset{x \to x_{0}}{=} o (g) \land f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} o (g) & \Rightarrow & f_{1} + f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} o (g), & (3.8) \\ ψ \overset{x \to x_{0}}{=} O (γ) \land f \overset{x \to x_{0}}{=} O (g) & \Rightarrow & ψ \cdot f \overset{x \to x_{0}}{=} O (γ g), & (3.9) \\ ψ \overset{x \to x_{0}}{=} o (γ) \land f \overset{x \to x_{0}}{=} O (g) & \Rightarrow & ψ \cdot f \overset{x \to x_{0}}{=} o (γ g), & (3.10) \\ ψ \overset{x \to x_{0}}{=} O (γ) \land f \overset{x \to x_{0}}{=} o (g) & \Rightarrow & ψ \cdot f \overset{x \to x_{0}}{=} o (γ g) . & (3.11) \end{array}$

Beweis. Die Aussage (3.6) folgt sofort aus der Definition, indem man in (3.4) $C = ε$ und $δ = δ_{ε}$ mit einem $ε$ und zugehörigem $δ_{ε}$ aus (3.5) ersetzt.

Nach Voraussetzung in (3.7) gelten $\begin{array}{rcl} ∥ f_{1} (x) ∥ & \leq & C_{1} ∥ g (x) ∥, x \in U_{δ_{1}} (x_{0}) \cap X, \\ ∥ f_{2} (x) ∥ & \leq & C_{2} ∥ g (x) ∥, x \in U_{δ_{2}} (x_{0}) \cap X . \end{array}$

Daraus folgt nach der Dreiecksunbgleichung in $K^{n}$

∥ f_{1} (x) + f_{2} (x) ∥ \leq (C_{1} + C_{2}) ∥ g (x) ∥, x \in U_{δ} (x_{0}) \cap X,

für $δ = min {δ_{1}, δ_{2}} > 0$ . Damit gilt $f_{1} + f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} O (g)$ .

Nach Voraussetzung von (3.10) gilt $\begin{array}{rcl} ∥ ψ (x) ∥ & \leq & ε ∥ γ (x) ∥, x \in U_{δ_{ε}} (x_{0}) \cap X, \\ ∥ f (x) ∥ & \leq & C ∥ g (x) ∥, x \in U_{δ} (x_{0}) \cap X, \end{array}$

und folglich $∥ ψ (x) f (x) ∥ \leq \tilde{ε} ∥ γ (x) g (x) ∥$ für $x \in U_{δ_{\tilde{ε}}^{'}} (x_{0}) \cap X,$ $δ_{\tilde{ε}}^{'} = min {δ_{ε}, δ}$ , $\tilde{ε} = ε C$ . Daraus folgt $ψ f \overset{x \to x_{0}}{=} o (γ g)$ . □

Die Aussagen von Satz 3.2.2 lassen sich symbolisch in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen:

\begin{array}{rcl} o (g) = O (g), & O (γ) O (g) = O (γ g), \\ O (g) + O (g) = O (g), & o (γ) O (g) = o (γ g), \\ o (g) + o (g) = o (g), & O (γ) o (g) = o (γ g) . \end{array}

Diese Schreibweise ist wie folgt zu verstehen: Die Aussage auf der linken Seite des Gleichheitszeichens impliziert die Aussage auf der rechten Seite: So bedeutet

o (g) = O (g)

nicht, dass

f = o (g)

mit

f = O (g)

äquivalent ist, sondern dass

f = o (g)

die Aussage

f = O (g)

impliziert.

Im Fall

g (x) \equiv 1

schreibt man anstatt

o (g)

und

O (g)

kurz

o (1)

und

O (1)

. Die Notationen

stehen gleichbedeutend für

f_{1} - f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} o (g)

respektive

f_{1} - f_{2} \overset{x \to x_{0}}{=} O (g)

3.2.2 Grundlegende Eigenschaften der Landau-Symbole.