2.15.1  $C\left(X,K\right)$ als linearer Vektorraum.

Die im Punkt 2.9.7 diskutierten Strukturen haben wir als Eigenschaften von ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$ kennengelernt. Punkte (Elemente, Vektoren) in diesen Räumen werden in den Anwendungen oft als geometrische Orte veranschaulicht. Dieselben Strukturen erweisen sich aber auch in wesentlich allgemeineren Situationen als äusserst nützlich, insbesondere im Fall von Funktionenräumen. Punkte (Elemente, Vektoren) solcher Räume sind Funktionen und wir diskutieren nun das erste Beispiel eines solchen Objektes.

Es seien $\left(M_1,d_1\right)$ und $\left(M_2,d_2\right)$ metrische Räume und $X$ sei eine Teilmenge von $M_1$. Mit $C\left(X,M_2\right)$ bezeichnen wir die Menge der stetigen Funktionen $f:X\to M_2$

Im weiteren betrachten wir ausschliesslich den Spezialfall $\left(M_2,d_2\right)=\left(K,d_{\parallel \cdot \parallel }\right)$ mit $K\in \left\{ℝ,ℂ\right\}$. Dann lassen sich auf $C\left(X,K\right)$ die Operation der Addition sowie der Multiplikation mit einer Konstante definieren $$\begin{array}{rcll}\left(f+g\right)\left(x\right)& =& f\left(x\right)+g\left(x\right),x\in X,f,g\in C\left(X,K\right),& \\ \left(\alpha \cdot f\right)\left(x\right)& =& \alpha f\left(x\right),x\in X,\alpha \in K,f,g\in C\left(X,K\right).& \end{array}$$

Nach Satz 2.12.7 sind $f+g$ und $\alpha \cdot f$ stetig, die genannten Operationen wirken damit folgendermaßen

Man kann nun punktweise für jedes einzelne $x\in X$ die Struktur des linearen Vektorraumes auf $K$ ausnutzen und damit die Axiomatik des reellen (für $K=ℝ$) bzw. des komplexen (für $K=ℂ$) linearen Vektorraumes für $C\left(X,K\right)$ verifizieren. Jede stetige Funktion wird dabei als ein einzelner Punkt dieses Raumes aufgefasst, das neutrale Element der Addition ist die Nullfunktion $0\left(x\right)=0$ für alle $x\in X$.