Dichte Mengen und Fortsetzungen von stetigen Funktionen.

2.12.9 Dichte Mengen und Fortsetzungen von stetigen Funktionen.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum und $X \subset M$ .

Definition 2.12.31. Die Menge $X$ heisst (überall) dicht in $M$ , genau dann wenn $\bar{X} = M$ , d.h. jeder Punkt in $M$ ist Grenzwert einer Folge aus $X$ .

Example 2.12.32. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ . Die Menge der rationalen Zahlen $ℚ$ ist dicht in $ℝ$ , da $\bar{ℚ} = ℝ$ .

Theorem 2.12.33. Es seien $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ metrische Räume und $X$ sei eine dichte Teilmenge von $M_{1}$ . Die Funktionen $f, g : M_{1} \to M_{2}$ seien stetig auf $M_{1}$ und stimmen auf $X$ überein: $f |_{X} = g |_{X}$ . Dann gilt $f (x) = g (x)$ für alle $x \in M_{1}$ .

Beweis. Jeder Punkt $x \in M_{1}$ ist Grenzwert einer Folge ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ , $x_{k} \in X$ . Dann gilt $f (x_{k}) = g (x_{k})$ . Aufgrund der Stetigkeit von $f$ und $g$ gilt dann

f (x) = lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = lim_{k \to \infty} g (x_{k}) = g (x) .

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Wir diskutieren in diesem Zusammenhang nochmals die Definition der Exponentialfunktion. Nach der Einführung der Zahl $e$ lässt sich zunächst $e^{n} = \underset{n Faktoren}{\underset{︸}{e \cdot \dots \cdot e}}$ berechnen. Die Beziehung ${(e^{m n^{- 1}})}^{n} = e^{m}$ liefert dann auf kanonische Weise $e^{m n^{- 1}} = \sqrt[m]{e^{n}}$ . Damit ist $e^{x}$ für $x \in ℚ$ bestimmt. Die Definition derselben Funktion für irrationale $x$ bedarf der Hinzuziehung zusätzlicher Argumente. Ein Ansatz ist es zu versuchen, die Funktion $e^{x}$ als stetige Funktion von $ℚ$ auf $ℝ$ fortzusetzen. Die in (2.56) definierte Funktion $e^{z} = exp z$ , ist eingeschränkt auf $ℝ$ eine solche Erweiterung. Satz 2.12.33 besagt, dass dies auch die einzig mögliche Erweiterung auf $ℝ$ darstellt.

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