Example 2.12.25. Wir betrachten die Funktion $f:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$, $f\left(x\right)=x^n$, $n\in \mathbb{N}$. Für beliebiges $y>0$ findet man dann reelle Zahlen $x_1$ und $x_2$ mit

Dann gilt ebenso $f\left(x_1\right)<y<f\left(x_2\right)$. Da $f$ stetig und streng monoton ist, so besitzt die Gleichung $x^n=y$ immer genau eine positive Lösung $x$ für beliebiges $y>0$, welche man üblicherweise mit $x=\sqrt[n]{y}$ bezeichnet.

Example 2.12.26. Wir betrachten die Funktion $f:ℝ\to \left(0,+\infty \right)$ gegeben durch $f\left(x\right)=e^x$. Nach Definition (2.56) gilt für positive $x$

$$e^x=\underset{n\to \infty }{lim}{t}_n\left(x\right)\ge t_1\left(x\right)=1+x>1,x>0.$$

(2.76)

Insbesondere wird $e^x$ für grosse $x>0$ beliebig gross. Da nach der Multiplikativität der Exponentialfunktion $e^{-x}=1∕e^x$ gilt, so ist $e^x$ für alle reellen Zahlen $x$ positiv und nimmt zudem für genügend kleine $x<0$ beliebig kleine positive Werte an. Damit finden sich für jedes $y>0$ reelle Zahlen $x_1$ und $x_2$ mit $e^{x_1}<e^y<e^{x_2}$. Die Stetigkeit von $e^x$ wurde bereits bewiesen. Wiederum aus der Multiplikativität und (2.76) folgt für $x^{\prime \prime }-x^{\prime }>0$ auch

damit ist $e^x$ streng monoton wachsend. Also besitzt die Gleichung $e^x=y$ für beliebige $y>0$ genau eine positive Lösung $x$, welche üblicherweise mit $x=lny$ bezeichnet wird.