Der Satz vom Diktator

Kenneth Arrows geniale Antwort auf die Frage: Wie schreibe ich meine Doktorarbeit in fünf Tagen und erhalte dafür den Wirtschaftsnobelpreis?


Try Science / Probiert die Uni aus! an der Universität Stuttgart.


Der Fachbereich Mathematik bietet auch dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schülerinnen und Schüler „die Uni ausprobieren” können.

Unser Thema diesmal heißt: Der Satz vom Diktator

Demokratie erfordert Abstimmung!

Abstimmungen sind jedem von uns aus dem Alltag vertraut. Eine Gruppe von Personen \(P_1,P_2,\dots,P_n\) darf / soll / muss über mehrere mögliche Alternativen \(A_1,A_2,\dots,A_m\) abstimmen. Doch nach welchem Verfahren soll abgestimmt werden? Wie wird das Ergebnis berechnet, auch in extrem schwierigen Fällen? Welche Anforderungen soll ein Wahlverfahren erfüllen? Diese Frage tritt in zahlreichen Anwendungen auf, sie ist daher für die Praxis überaus wichtig... und auch theoretisch höchst interessant!

Offensichtlich braucht man gar nicht erst abzustimmen, wenn es nur eine Alternative gibt, oder schlimmer noch gar keine Alternative. („Alternativlos” war das Unwort des Jahres 2010 und wird immer wieder gerne genutzt.) Ebensowenig lohnt eine Wahl, wenn das Wahlverfahren einem einzelnen Individuum diktatorische Vollmacht gibt.

Wenn es genau zwei Alternativen \(A,B\) gibt, dann kann man zum Beispiel die Stimmen zählen, und es entscheidet die relative / einfache / absolute / qualifizierte Mehrheit. Hier gibt es bereits mehrere Möglichkeiten, ein Wahlverfahren festzulegen. Manchmal gibt es zudem Vetorechte zum Schutz von Minderheiten und ähnliche Verfeinerungen.

Drei Alternativen und mehr...

Soweit ist noch alles klar und relativ einfach. Das ändert sich dramatisch, wenn drei Alternativen \(A,B,C\) oder mehr vorliegen. Wie soll hierüber abgestimmt werden?

Kenneth Arrow ging 1948 der grundlegenden Frage nach, wie ein gerechtes Wahlverfahren für drei oder mehr Alternativen aussehen müsste. Hierzu formulierte er gewisse naheliegende Bedingungen (Wünsche, Axiome) und versuchte dann, geeignete Wahlverfahren zu finden (oder zu „erfinden”, zu „konstruieren”), die alle gewünschten Bedingungen erfüllen. Das gestaltete sich überraschend schwierig...

Nachdem ihm keine Lösung gelang, bewies er kurzerhand das Gegenteil: Es gibt keine! Das ist Arrows berühmtes Unmöglichkeitstheorem, etwas spektakulärer heißt es auch Arrows Satz vom Diktator. Es wurde 1951 zu seiner Dissertation. Arrow bekam 1972 für seine Arbeiten den Wirschaftsnobelpreis.

That was it! It took about five days to write in September 1948.
When every attempt failed I thought of the impossibility theorem.
Kenneth Arrow, zitiert nach Sylvia Nasar, A Beautiful Mind

Ablauf der Veranstaltung

Wir beginnen mit einer Vorstellung der Mathematik-Studiengänge. Danach präsentieren wir das Thema Wahlverfahren in Form einer Vorlesung und zugehöriger Übung, recht ähnlich wie im richtigen Studium.

Nachlese: einige Fragen und Antworten

[xkcd voting systems]

Arrows Satz vom Diktator löst oft heftige Diskussionen aus. Zahlreiche Wahlverfahren wurden und werden vorgeschlagen, doch keines kann perfekt sein. Warum bin ich so sicher? Nicht nur, weil ein Nobelpreisträger behauptet, ein solches Verfahren könne es nicht geben. — Das wäre ein reines Autoritätsargument und als solches eher schwach. So beeindruckend oder einschüchternd dies auch sein mag, es ersetzt keinen Beweis.

Starke Antwort: Wir haben einen Beweis! Wir führen alle Argumente sorgfältig aus, jeder von uns kann sie nun selbstständig prüfen. Es geht nicht um Autorität, sondern um nachvollziehbare Argumente. Das ist wissenschaftliche Ehrlichkeit und Transparenz, so soll es sein.

Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Immanuel Kant (1724–1804), Was ist Aufklärung?, 1784

[Charlie Chaplin, the great dictator]

Zugegeben: Arrows Unmöglichkeitstheorem klingt zunächst unglaublich.
Die gute Nachricht: Wir müssen es nicht glauben, wir können es beweisen.

Manche möchten es vielleicht dennoch nicht wahr haben, aber es ist besser, die Grenzen von Wahlverfahren zu kennen. In einfachen, klaren Fällen können wir manchmal ein Ergebnis ablesen. Das Wahlsystem soll aber allgemein gelten, also auch aus extremen, heterogenen, widersprüchlichen Voten eine gemeinsame Präferenz extrahieren. Die Gesellschaft kann extrem uneinig sind, und das Wahlverfahren soll es irgendwie richten. Das ist zu viel verlangt! Konsens oder Kompromiss muss die Gesellschaft selbst herstellen; diese mühsame Arbeit kann ihr keine magische Formel abnehmen.