Michael Eisermann

Es gibt nichts Praktischeres
als eine gute Theorie.
Immanuel Kant (1724–1804)

Höhere Mathematik 3 (vertieft)

Vorlesung im Wintersemester 2012/13 (Veranstaltung 01200, Modul 17220).

Auf dieser Seite finden Sie:

Rückmeldungen? Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff der Vorlesung und der Übungen zurecht kommen, und was sich verbessern lässt. (Vorlesungsumfrage)

Aktuelles

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Stundenplan

Vorlesung Di 08:00-09:30 Raum V 57.03
Vorlesung Do 14:00-15:30 Raum M 12.01
Vortragsübung Do 15:45-17:15 Raum M 12.01
Übungsgruppen

C1-C8 Do 08:00-09:30 Übungsräume
A1-A5 Do 09:45-11:15 Übungsräume
B1-B8 Do 11:30-13:00 Übungsräume

Zielsetzung der Vorlesung

Höhere Mathematik bezeichnet – insbesondere an technischen Hochschulen – jene Teilgebiete der Mathematik, die als mathematische Grundlagen in den ingenieur- und naturwissenschaftlichen Studiengängen gelehrt werden. (Der Komparativ 'höher' bezieht sich hierbei auf die Schulmathematik, analog zum Vergleich Schule und Hochschule.) Im Gegensatz zu den tiefer gehenden Inhalten des Mathematikstudiums liegt hier die Betonung weniger auf der zugrundeliegenden Theorie (Definitionen, Sätze, Beweise) sondern mehr auf der praktischen Anwendung (Beispiele, Sätze, Rechentechniken).

Die Vorlesung HM3 baut auf der HM1/2 auf und führt diese fort mit folgendem Ziel:

Der Weg ist steinig, doch das Ziel ist hehr!

Literatur zur Vorlesung

Schauen Sie sich in der Bibliothek Lehrwerke zur Höheren Mathematik an und wählen Sie das für Sie passende aus. Wenn Sie möchten, können Sie mit folgenden anfangen:

Wiederholung, Training, Vorbereitung:

Zur Wiederholung der mathematischen Grundlagen:

Zur Vertiefung der Grundlagen und einzelner Themen:

Inhalt der Vorlesung

Meine Folien zur Vorlesung 2012/2013 habe ich inzwischen grundlegend überarbeitet und weiterentwickelt. Ich verweise auf die jeweils aktuelle Fassung. Für die Mitteilung von Unklarheiten und Fehlern sowie für Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar!

Gruppenübungen zur Vorlesung

Unsere wöchentlichen Übungen sind ein Angebot an die Teilnehmer, die neuen Werkzeuge selbständig anzuwenden und einzuüben. Die behandelten Techniken werden im Fortgang dieser Vorlesung benötigt und sind mathematische Grundlage der folgenden Semester. Sie müssen nicht alle Übungsaufgaben lösen, aber Sie sollten es bei jeder Aufgabe ernsthaft versuchen, nur so lernen Sie das Handwerk.

Warten Sie mit Ihrer notwendigen Eigenarbeit nicht bis zum Ende des Semesters, investieren Sie jede Woche die nötigen Stunden, das strukturiert Ihre Arbeit und Sie bleiben im Takt.

Jede Woche geben Sie bitte die als solche markierten schriftlichen Aufgaben in der Übungsgruppe Ihrem Tutor zur Korrektur ab. Alle weiteren Aufgaben bereiten Sie bitte für Ihre Übungsgruppe vor, um diese in der gemeinsamen Diskussion erklären zu können, oder um informiert nachfragen zu können.

Nutzen Sie die wöchentlichen Übungsgruppen! Diese Zeit ist enorm wichtig aber knapp bemessen. Wer unvorbereitet kommt und erst in der Übung mit dem Nachdenken, Nachlesen, Nachrechnen beginnt, vergeudet wertvolle Übungszeit. Der Erfolg Ihrer Übungen beruht auf Ihrem Engagement.

Wiederholung, Training, Vorbereitung

Einige Teilnehmer haben mich um weitere (am besten leichte) Aufgaben zum Einüben gebeten. Für mich ist es natürlich schwierig, für jeden Geschmack etwas passendes zu finden... Hier müssen Sie sich umschauen und nach Ihren Bedürfnissen auswählen. Vielleicht konsultieren Sie zunächst Ihr Lieblingslehrbuch (siehe oben).

Dennoch will ich Ihrem Wunsch gemäß hier anfangen, ein paar Aufgaben zu sammeln.

Folgende Aufgaben aus Mathematik Online (eine Auswahl):

Klausurvorbereitung zur HM3 aus dem Begleitmaterial zu Mathematik Online (WiSe 2010/11). Wiederholung einiger Formeln, Aufgaben und Lösungen zu folgenden Themen: mehrdimensionale Integration und Integralsätze, Funktionentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Differentialgleichungssysteme, Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace-Transformation, partielle Differentialgleichungen.

Prüfungsvorleistungen

Übungsschein

Der Übungsschein ist Zulassungsvoraussetzung zur Abschlussklausur:

Scheinklausur

Die Scheinklausur fand am Samstag, den 26. Januar 2013, von 10 bis 12 Uhr in den Hörsälen V53.01 und V47.01 statt. Sie erstreckt sich über alle Themen bis einschließlich gewöhnliche Differentialgleichungen: Klausurtext, Lösung. Von 344 Teilnehmern haben über 80% bestanden. Die Nachschreibeklausur fand am Montag, den 4. Februar, 15:30 - 17:30 Uhr in V57.05 statt. (Klausurtext mit Lösungen)

Erlaubte Hilfsmittel: 6 Seiten DIN A4 eigenhandgeschriebene Notizen.

Scheine

Es wird eine Datenbank mit den Ergebnissen der Scheinklausuren angelegt. Die in verschiedenen Jahren erworbenen Scheine zur HM3 werden als äquivalent anerkannt. Wir geben in aller Regel die Scheine nicht mehr in Papierform aus. Wer eine schriftliche Bescheinigung benötigt, kann sich dazu an uns wenden.

Abschlussklausur

Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen Sie als Vorleistung den Übungsschein erwerben oder sich einen vorigen Schein anerkennen lassen (siehe oben). Die Klausuren finden turnusgemäß in den Prüfungszeiträumen statt, also Februar(/März/April) und September(/Oktober). Termine und Räume werden vom Prüfungsamt zentral organisiert und bekannt gegeben.

Die Klausur nach dem WiSe 2012/13 fand am Dienstag, den 26. Februar 2013, von 8 bis 10 Uhr statt (Aufgaben, Lösungen). Die Klausur nach dem SoSe 2013 fand am Donnerstag, den 5. September 2013, von 11 bis 13 Uhr statt (Aufgaben, Lösungen).

Erlaubte Hilfsmittel: 10 Seiten DIN A4 eigenhandgeschriebene Notizen. Stifte (schwarz oder blau, kein Bleistift oder Rotstift) und genügend leeres Papier sind von Ihnen selbst mitzubringen.

(Erläuterung: Eigenhandgeschrieben bedeutet von Ihnen eigenhändig handgeschrieben. Diese Einschränkung dient vor allem Ihrer eigenständigen Vorbereitung, denn die ist das Wichtigste! 10 Seiten entsprechen 5 Blättern Vorder-&Rückseite, entsprechend einer Fläche von etwa 0.624 m2; es dürfen auch weniger sein. Sonstige Hilfsmittel wie Taschenrechner, Computer, Telefone, Funkgeräte, wissensrelevante Hirnimplantate und andere futuristische Gadgets etc. sind nicht zugelassen.)

Notenstatistik

Etwa 450 Teilnehmer erschienen zu Vorlesung und Übung zu Beginn des Semesters im Oktober 2012.

Zur ersten Klausur am Ende des Semesters im Februar 2013 erschienen 294 Teilnehmer. Von diesen haben 231 bestanden und 63 nicht (nach Klausureinsicht und mündlichen Fortsetzungsprüfungen). Zur Ihrer Information hier die Notenverteilung:

Note 1,01,31,72,02,32,73,03,33,74,05,0
Punkte ≥55≥52≥49≥46≥43≥40≥37≥34≥31≥28≤27
Häufigkeit 3 2 8 17 16 24 32 39 30 60 63

Zur zweiten Klausur im September 2013 erschienen 112 Teilnehmer. Von diesen haben 83 bestanden und 29 nicht. Zur Ihrer Information hier die Notenverteilung:

Note 1,01,31,72,02,32,73,03,33,74,05,0
Punkte ≥55≥52≥49≥46≥43≥40≥37≥34≥31≥28≤27
Häufigkeit 1 1 3 5 1 16 12 14 12 18 29

Gelegentlich gestellte Fragen

„Was würden Sie als optimale Prüfungsvorbereitung empfehlen?“

Als Grundlage empfehle ich Vorlesung und Lehrbücher, zum Training die Übungen und Klausuren. Viele Studenten machen es umgekehrt (Ihrer Abneigung oder Zeitnot gehorchend) und beginnen mit den Klausuren: Auch das kann funktionieren – allerdings nur, wenn sie sich gleichzeitig die nötigen Grundlagen aus Vorlesung und Übungen erarbeiten. Theorie und Praxis sind keine Gegensätze sondern gegenseitige Erklärung und Ergänzung: Theorie ohne Praxis ist leer; Praxis ohne Theorie ist blind.

(Manchen wird diese ehrliche Antwort nicht gefallen, da sie viel Arbeit erfordert, aber gefragt ist die optimale Vorbereitung. Sie erfordert insbesondere kontinuierliche Arbeit, Woche für Woche während des gesamten Semesters. Wenn Sie vorhaben, erst wenige Tage vor der Klausur anzufangen, dann reicht es nur zum Notprogramm mit den üblichen Risiken. Vertrauen Sie lieber auf Lernen als auf Lücke.)

„Die älteren Klausuren sind vom Stil her sehr unterschiedlich.“

Die Vorlesung HM3 für LRT und MaWi gibt es schon lange, und die Klausuren sind im Klausurenarchiv gut sortiert. Die Klausurtexte sehen vom Layout/Stil immer etwas anders aus, ich habe mich zum Beispiel für die Heftform entschieden. Thematisch aber sind die Klausuren der letzten Jahre ziemlich deckungsgleich: Integralrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Reihen und Fourier-Integrale sowie Stochastik. (Über die Jahre haben die Änderungen in der Modulbeschreibung die Akzente nur unwesentlich verschoben. Das sieht man allerdings erst, wenn man die Inhalte versteht und nicht am Buchstaben der Klausur klebt.) Jedenfalls sollten Sie mit den Werkzeugen Ihrer aktuellen Vorlesung auch die alten Aufgaben lösen und als Training verwenden können.

„Kommen partielle Differentialgleichungen in der Klausur dran?“

Die partiellen Differentialgleichungen stehen als krönender Abschluss am Ende der Vorlesung. Sie können dadurch allerdings nicht mehr ausreichend durch die Übungen unterstützt und trainiert werden. Daher wird die diesjährige Klausur keine Aufgaben enthalten, die wesentlich auf diesem letzten Kapitel aufbauen. (Das folgt in den nächsten Semestern, da sie in Anwendungen häufig und ausgiebig genutzt werden.)

„Muss man Tabellen abschreiben? Was muss in die Formelsammlung?“

Manche Klausuraufgaben nutzen Tabellen, typischerweise Funktionswerte (z.B. Exponentialfunktion, Normalverteilung) oder Integraltafeln (etwa zur Laplace- oder Fourier-Transformation). In diesem Fall sind die nötigen Tabellen dem Klausurtext beigefügt, wie etwa bei den Klausuren der Vorjahre. Einzelne Ergebnisse und Formeln hingegen sollten Sie vorbereiten und verstehen, und zur Klausur entweder auswendig beherrschen oder in Ihren Notizen griffbereit haben. Beispielsweise kennen Sie die Integrationsregeln der HM2 wie Substitution und partielle Integration auswendig, die Integralsätze von Gauss/Green/Stokes aus der HM3 hingegen möchten Sie lieber notieren. (Das alles hilft natürlich nur, wenn Sie diese auch verstehen und anwenden können; ohne Verständnis nützen Formeln nichts.)

„Hat sich an den Vorlesungsthemen bzw. Übungsaufgaben gegenüber dem Vorjahr viel geändert?“

Dieses Jahr habe ich einige theoretische Aspekte weggelassen und die Zeit in weitere Beispiele und Rechentechniken investiert. An den Themen hat sich dadurch insgesamt wenig geändert, hinzugekommen ist allerdings der Residuenkalkül (Kapitel H). Diese Rechentechnik benötigen wir bei vielen Integralen, vor allem bei Laplace- und Fourier-Transformationen.

„Sind die Gruppenübungs-Aufgaben vom letztem Jahr noch aktuell für die diesjährige Prüfung?“

Die Übungen des letzten Jahres geben weiterhin die Themen insgesamt gut wieder, ebenso wie die zahlreichen Aufgaben aus Mathematik Online und dem Klausurenarchiv.

Die Vorlesung verfolgt das Ziel, die Sätze möglichst gebrauchsfertig zu präsentieren. Bei der Überarbeitung habe ich viele Techniken etwas verfeinert und die Übungen möglichst eng hierauf abgestimmt. Die Übungsaufgaben geben daher ein recht getreues Abbild vom Verlauf der Vorlesung und sollen zur Illustration und zur Orientierung dienen. Wenn Sie die Vorlesung im Vorjahr gehört haben, können und sollten Sie auch die diesjährigen Übungen zu Ihrer Vorbereitung nutzen; das meiste werden Sie wiedererkennen.

„Gibt es im Sommersemester die Möglichkeit, den HM3-Schein zu machen?“

Für die Grundausbildung der Ingenieurstudenten in Höherer Mathematik stellen die stuttgarter Ingenieurstudiengänge nur sehr knappe Ressourcen zur Verfügung. Zusatzangebote wie Prüfungsvorbereitungskurse nach dem Wintersemester oder Wiederholbarkeit von Übungen und Scheinklausur im Sommersemester scheinen mir unter Umständen sinnvoll, sind aber bei der gegenwärtigen Unterfinanzierung der Mathematik schlicht nicht möglich. (Konkret heißt das: Im Sommersemester ist das HM3-Team mit anderen Veranstaltungen ausgebucht.)

„Wird es im vorlesungsfreien Zeitraum von Ihnen organisierte Prüfungsvorbereitungskurse geben?“

Fortsetzung der vorigen Antwort: Als Notlösung ist Last-Minute-Lernen zwar weit verbreitet aber erfahrungsgemäß wenig effizient. Während des Wintersemesters bieten Ihnen die Vorlesung und die Übungen eine hervorragende wöchentliche Betreuung. Das sollten Sie nutzen! Prüfungsvorbereitungskurse lindern etwaige Versäumnisse, sind aber ansonsten nicht notwendig. Ich sehe Vor- und Nachteile und bin für Experimente offen, aber bei der gegenwärtigen Ausstattung bleibt dem HM3-Team hierfür kein Spielraum.

Vorlesungstermine mit Inhaltsangabe

Die Inhalte der gehaltenen Vorlesungen notiere ich im Laufe des Semesters hier stichpunktartig. Den genauen Inhalt der Vorlesung entnehmen Sie den Folien.

Vorlesungsbeginn am 15. Oktober 2012
V01 Di 16.OktOrganisatorisches, Überblick. §A Was sind und was sollen Integrale? §A1 Definiton des Volumens. §A2 Reelle Funktionen. §A3 Definition des Integrals.
V02 Do 18.Okt Doppel§B Eindimensionale Integration. §B1 Einschachtelung. §B2 Hauptsatz. §B3 Ausschöpfung. §C Mehrdimensionale Integration. §C1 Der Satz von Fubini.
V03 Di 23.OktNormalbereiche. §C2 Transformationssatz. Polar-, Zylinder, Kugelkoordinaten. Integral der Gaußschen Glockenkurve.
V04 Do 25.Okt§D Integrale und Grenzwerte. §D1 Vertauschen von Integral und Summe. §D2 Integral und Grenzwert. §D3 Integral und Ableitung.
V05 Di 30.Okt§E Integralsätze in der Ebene. §E1 Wege und Kurven. Grundbegriffe und Beispiele. Weglänge und Kurvenlänge.
V-- Do 01.NovAllerheiligen: Vorlesung und Übungen fallen aus.
V06 Di 06.NovWegintegrale und Kurvenintegrale. §E2 Integralsätze in der Ebene. Kompakta mit stückweise glattem Rand. Integralsatz von Gauß.
V07 Do 08.Nov DoppelIntegralsatz von Green. §F Integralsätze im Raum. §F1 Flächen. Parametrisierte Flächenstücke. Flächeninhalt. Flächenintegrale. §F2 Integralsätze im Raum. Satz von Stokes. Stückweise glatte Flächen. Satz von Gauß. §F3 Archimedisches Prinzip
V08 Di 13.Nov§G Anwendungen der Integralsätze. §G1 Vektorfelder und Potentiale. Exakte, konservative und rotationsfreie Vektorfelder.
V09 Do 15.Nov§G2 Physikalische Anwendungen: Newton. Maxwell. Fourier. §H Integralsätze für komplexe Funktionen. §H1 Komplexe Funktionen und Potenzreihen
V10 Di 20.NovLaurent-Reihen, komplexe Wegintegrale, Residuum, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. §H2 Integralsatz und Integralformel von Cauchy.
V11 Do 22.Nov Doppel§H3 Der Residuensatz und Anwendungen. §I Wahrscheinlichkeitsrechnung. §I1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume. §I2 Bedingte Wahrscheinlichkeit.
V12 Di 27.NovUnabhängigkeit. §I3 Anwendungen. §J Diskrete stochastische Modelle. §J1 Produktexperimente, Ausfallwahrscheinlichkeit, Geburtstagsparadox.
V13 Do 29.Nov§J2 Abzählformeln und Urnenmodelle. §J3 Hypergeometrische, Binomial- und Poisson-Verteilung, einfache Grenzwertsätze, explizite Fehlerschranken.
V14 Di 04.Dez§K Der lokale Grenzwertsatz. §K1 Mittelwert und Streuung. §K2 Von Binomial- zur Normalverteilung, explizite Fehlerschranken, Anwendungen.
V15 Do 06.Dez Doppel§L Zufallsvariablen. §L1 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeit. §L2 Zufallsvariablen, Erwartungswert und Varianz, Chebychev. §L3 Der zentrale Grenzwertsatz.
V16 Di 11.Dez§M Gewöhnliche Differentialgleichungen. §M1 Motivation und Beispiele. Existenz und Eindeutigkeit. §M2 Separierbare DG, Substitution.
V17 Do 13.Dez§M3 Exakte DG, Potential, integrierende Faktoren, Beispiele. §M4 Lineare DG, Lösungsformeln, Beispiele. Bernoulli-DG, Substitution.
V18 Di 18.Dez§N Lineare Differentialgleichungssysteme, einführende Beispiele. §N1 DGSysteme, Linearität, Fundamentallösung, Lösungsraum, Anwendungen.
V19 Do 20.Dez DoppelVariation der Konstanten. §N2 Lineare DGSysteme mit konstanten Koeffizienten: Exponentialfunktion, Lösung durch Eigenvektoren und Hauptvektoren, reelle Lösungen, autonome DGSysteme und Fixpunkte.
Weihnachtsferien vom 23. Dezember 2012 bis zum 5. Januar 2013
V20 Di 08.Jan§O Lineare DG höherer Ordnung. §O1 Lösungsraum, Ansatzmethode. §O2 Konstante Koeffizienten, Exponentialansatz und charakteristisches Polynom.
V21 Do 10.JanGreensche Methode für beliebige rechte Seiten, Ansatz für spezielle rechte Seiten, Beispiele mit und ohne Resonanz. §O3 Freie Schwingungen, Dämpfung.
V22 Di 15.JanErzwungene Schwingung, Resonanz. §P Laplace-Transformation. §P1 Definition, Beispiele, Rechenregeln. §P2 L-Tabelle, Anwendung auf DG, Umkehrformel.
V23 Do 17.Jan Doppel§Q Fourier-Reihen. §Q1 Periodische Funktionen, Skalarprodukt, Orthogonalität. §Q2 Fourier-Koeffizienten integrierbarer Funktionen, Beispiele und Beobachtungen, Differenzieren und Integrieren, Glattheit und Abklingen.
V24 Di 22.JanAbklingen, Potenzreihen und Fourier-Reihen. §R Konvergenz von Fourier-Reihen. §R1 Punktweise Konvergenz, Dirichlet-Kriterium, Anwendungen.
V25 Do 24.Jan§R2 Bestapproximation bzgl. Skalarprodukt. §R3 Konvergenz im quadratischen Mittel, Parseval-Gleichung, Fourier-Isometrie, isoperimetrisches Problem.
Sa 26.JanScheinklausur
V26 Di 29.JanLösung des isoperimetrischen Problems. §S Fourier-Transformation. §S1 Erste Beispiele, Stetigkeit, Abklingen, Unschärfeprinzip, Rechenregeln.
V27 Do 31.Jan Doppel§S2 Algebraische Eigenschaften: Faltung und Produkt, Ableiten und Multiplizieren. §S3 Fourier-Isometrie, Unschärferelation. §T Partielle Differentialgleichungen. §T1 Erste Beispiele.
V28 Di 05.Feb§T1 Elliptische, hyperbolische, parabolische PDE. Trennung der Variablen. §T2 Lösung der Wärmeleitungsgleichung, Kühlung am Rand (Dirichlet-Anfangsrandwertproblem).
V29 Do 07.FebIsolierung (Neumann-Anfangsrandwertproblem). §T3 Wellengleichung, diskret und kontinuierlich, Lösungen nach Euler-d'Alembert und nach Fourier.

An Weiberfaasnet ist alles vorbei.
Vorlesungsende am 9. Februar 2013
Di 26.FebAbschlussklausur
 

In der Theorie gibt es keinen Unterschied
zwischen Theorie und Praxis.
In der Praxis schon.