Michael Eisermann

Es gibt nichts Praktischeres
als eine gute Theorie.
Immanuel Kant (1724–1804)

Höhere Mathematik 3 (vertieft)

Vorlesung im Wintersemester 2011/12.

Auf dieser Seite finden Sie:

Rückmeldungen? Ich freue mich über Ihre Kommentare und Anregungen! Bitte lassen Sie mich wissen, wie Ihnen die Veranstaltung gefällt, wie Sie mit dem Stoff zurecht kommen, und was sich verbessern lässt.

Aktuelles

Diese Seite wird nicht mehr regelmäßig aktualisiert; sie wird aber noch längere Zeit zugänglich bleiben, um als Archiv zu dienen. Zur Übersicht: aktuelle und vergangene Lehrveranstaltungen

Stundenplan

Vorlesung Mi 8:00-9:30 Raum 47.01
Vorlesung Do 15:45-17:15 Raum 53.01
Vortragsübung Fr 8:00-9:30 (zweiwöchentlich) Raum 53.01
Übungsgruppen
A1-A4 Do 9:45-11:15 Übungsräume
A5-A6 Do 11:30-13:00 Übungsräume
B1-B5 Do 14:00-15:30 Übungsräume
C1-C3 Do 8:00-9:30 Übungsräume

Ab Donnerstag, den 1. Dezember, fand die Donnerstagsvorlesung von 15:45 bis 17:15 statt (und nicht wie zuvor von 16:00 bis 17:30). Dies entsprach dem Wunsch der großen Mehrheit der Teilnehmer. Vielen Dank an die freundlichen Kollegen aus der Experimentalphysik, die diese Änderung möglich gemacht haben!

Zielsetzung der Vorlesung

Höhere Mathematik bezeichnet – insbesondere an technischen Hochschulen – jene Teilgebiete der Mathematik, die als mathematische Grundlagen in den ingenieur- und naturwissenschaftlichen Studiengängen gelehrt werden. (Der Komparativ 'höher' bezieht sich hierbei auf die Schulmathematik, analog zum Vergleich Hochschule und Schule.) Im Gegensatz zu den tiefer gehenden Inhalten des Mathematikstudiums liegt hier die Betonung nicht auf der zugrundeliegenden Theorie (Definitionen, Sätze, Beweise) sondern auf der praktischen Anwendung (Sätze, Beispiele, Rechentechniken).

Die Vorlesung HM3 baut auf der HM1/2 auf und führt diese fort mit folgendem Ziel:

Inhalt der Vorlesung

Meine Folien zur Vorlesung 2011/2012 habe ich inzwischen grundlegend überarbeitet und weiterentwickelt. Ich verweise auf die jeweils aktuelle Fassung. Für die Mitteilung von Unklarheiten und Fehlern sowie für Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar!

Literatur zur Vorlesung

Schauen Sie sich in der Bibliothek Lehrwerke zur Höheren Mathematik an und wählen Sie das für Sie passende aus. Wenn Sie möchten, können Sie mit folgenden anfangen:

Wiederholung, Training, Vorbereitung:

Zur Wiederholung der mathematischen Grundlagen:

Zur Vertiefung der mathematischen Grundlagen:

Gruppenübungen zur Vorlesung

Jede Woche geben Sie bitte die als solche markierten schriftlichen Aufgaben in der Übungsgruppe Ihrem Tutor zur Korrektur ab. Alle weiteren Aufgaben bereiten Sie bitte für Ihre Übungsgruppe vor, entweder um diese dort in der gemeinsamen Diskussion vorstellen und erklären zu können, oder um informiert nachfragen zu können. Wer unvorbereitet kommt und erst in der Übung mit dem Nachdenken, Nachlesen, Nachrechnen beginnt, vergeudet seine Übungszeit und auch die der anderen Teilnehmer.

Zur Betonung nochmal anders gesagt: Sie müssen nicht alle Übungsaufgaben lösen, aber Sie sollten es bei jeder Aufgabe ernsthaft versuchen. Nutzen Sie die Übungen!

Wiederholung, Training, Vorbereitung

Einige Teilnehmer haben mich um weitere (am besten leichte) Aufgaben zum Einüben gebeten. Für mich ist es natürlich schwierig, für jeden Geschmack etwas passendes zu finden... (Meine engere Wahl finden Sie in der Vorlesung und den Übungen, aber naja, das mag nicht jeder.) Hier müssen Sie sich umschauen und nach Ihren Bedürfnissen auswählen. Vielleicht konsultieren Sie zunächst Ihr Lieblingslehrbuch.

Dennoch will ich Ihrem Wunsch gemäß hier anfangen, ein paar Aufgaben zu sammeln.

Folgende Aufgaben aus Mathematik Online (eine Auswahl):

Klausurvorbereitung zur HM3 aus den Begleitmaterialien von Mathematik Online:

Prüfungsvorleistungen

Übungsschein

Der Übungsschein ist Zulassungsvoraussetzung zur Abschlussklausur:

Scheine

Es wurde eine Datenbank mit den Ergebnissen der Scheinklausuren angelegt. Wir geben diesmal die Scheine nicht in Papierform aus. Wer eine schriftliche Bescheinigung über den Klausurerfolg benötigt, kann sich dazu an uns wenden. In der Übungsstunde am 2.7.2012 wurden die Ergebnisse der Scheinklausur den Studenten durch unsere Tutoren übermittelt. Wer diesen Termin verpasst hat oder sich trotzdem nicht sicher ist, ob er bestanden hat, kann sich dazu an Herrn Jentsch wenden.

Abschlussklausur

Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen Sie als Vorleistung den Übungsschein erwerben oder sich einen vorigen Schein anerkennen lassen (siehe oben).

Die Klausur nach dem WiSe 2011/12 fand am Dienstag, den 28. Februar 2012, von 11 bis 13 Uhr statt (Aufgaben, Lösungen). Die Klausur nach dem SoSe 2012 fand am Montag, den 3. September 2012, von 14 bis 16 Uhr statt (Aufgaben, Lösungen).

Statistischer Überblick

Etwa 300 Teilnehmer erschienen zu Vorlesung und Übung zu Beginn des Semesters im Oktober 2011.

Zur ersten Klausur am Ende des Semesters im Februar 2012 erschienen 201 Teilnehmer. Von diesen haben 163 bestanden und 38 nicht (nach Klausureinsicht und mündlichen Fortsetzungsprüfungen). Zur Ihrer Information hier die Notenverteilung:

Note 1,01,31,72,02,32,73,03,33,74,05,0
Punkte ≥51≥48≥45≥42≥39≥36≥33≥30≥27≥24≤23
Häufigkeit 7 4 5 11 13 16 19 31 22 35 38

Für die zweite Klausur im September 2012 hatten sich zunächst etwas über 100 Teilnehmer angemeldet. Aufgrund von Rücktritt und Krankheit sind zur Klausur dann nur 64 Teilnehmer erschienen.

Note 1,01,31,72,02,32,73,03,33,74,05,0
Punkte ≥52≥49≥46≥43≥40≥37≥34≥31≥28≥25≤24
Häufigkeit 0 1 3 3 6 6 9 8 4 11 13

Hinweise für Wiederholer

Ich versuche, die wichtigsten Fragen für Wiederholer hier zusammenzustellen.

Änderung der Modulbeschreibung

Die Modulbeschreibung wurde vom letzten auf dieses Jahr etwas angepasst. Lassen Sie sich davon nicht schrecken sondern schauen Sie sich die (wenigen) Änderungen an. Die Inhalte sind sehr ähnlich, nur einige Akzente haben sich verschoben, vor allem haben sich die engen Zeitvorgaben deutlich entspannt im Vergleich zum Zeitplan im WiSe 2010/11. Der Umfang ist nach wie vor sehr anspruchsvoll, aber in 15 Semesterwochen durchaus erlernbar.

Übungsschein des Vorjahres

Manche von Ihnen hören die HM3 zum zweiten Mal. Wenn Sie schon letztes Jahr den Übungsschein erworben haben, so sollten Sie diesen als Vorleistung anerkennen lassen. (Herr Jentsch verwaltet unsere Datenbank.) Sie tragen dann allerdings das Risiko, dass die Übungen des letzten Jahres nur teilweise dem Inhalt der diesjährigen Vorlesung entsprechen. Ich empfehle in jedem Fall nachdrücklich, während des ganzen Semesters die Übungen zu nutzen und auch die Scheinklausur mitzuschreiben.

Wiederholung, Training, Vorbereitung

Ich gebe oben ein paar Hinweise zu Wiederholung, Training, Vorbereitung. Seit Ende Januar liegt insbesondere unsere Scheinklausur online vor: Diese können Sie zum Auffrischen und als Einstieg in die Wiederholung nutzen! Wenn Sie wollen, nehmen Sie sich zwei Stunden Zeit, um diese unter realistischen Bedingungen zu bearbeiten und so Ihren Nachholbedraf einzuschätzen.

Ist das Klausurenarchiv zur Vorbereitung noch sinnvoll?

„Auf der Vorlesungsseite und in unserem Forum habe ich gelesen, dass sich die Prüfung von der letztes Semester unterscheidet. Gibt es dazu genauere Informationen? Ist die Bearbeitung der Prüfungen aus dem Klausurenarchiv zur Vorbereitung noch sinnvoll?“

Ja, sicher! Die Rahmenbedingungen haben sich in den letzten Jahren zwar immer wieder verändert. Auch die Gewichtungen, wie viel Zeit der Dozent einem Thema einräumt, und welche Aufgaben er schließlich stellen kann, variieren natürlich. Aber die grundlegenden Themen sind doch immer dieselben. Wie sollte es auch anders sein? Die Themen sind ja nicht willkürlich sondern entsprechen dem Bedarf der Anwendungen in den jeweiligen Studiengängen, hier LRT und MaWi.

Anders gesagt: Ich habe im Wesentlichen denselben Stoff behandelt wie meine Vorgänger, und die Klausur wird ähnlich aussehen wie jedes Jahr. Die Anpassungen sind für Wiederholer durchaus überschaubar. Das viel drängendere Problem dürfte sein, sich erneut in die HM3 einzuarbeiten.

Freunde von mir haben gesagt...

„Freunde von mir, die den Schein dieses Jahr erst gemacht haben, haben berichtet, dass die Themen der Vorlesung komplett anders gewesen seien.“

Die Modulbeschreibung hat sich verändert, aber die Vorlesungen sind vom Inhalt her sicher nicht „komplett anders“. Im Gegenteil halte ich sie für sehr ähnlich. Bei der Vorbereitung der Vorlesung habe ich mich daher an denen der letzten Jahre orientiert, um sowohl den neuen Rahmen als auch die Kontinuität zu wahren. Es geht immer noch um Höhere Mathematik: mehrdim. Integration, Integralsätze, Wahrscheinlichkeit, Differentialgleichungen, Fourier-Reihen und -Transformation.

Zum Glück müssen Sie sich nicht auf Hörensagen verlassen, denn die Vorlesungen wurden von den Dozenten freundlicherweise dokumentiert: letztes Jahr von Prof. Kühnel (Zeitplan im WiSe 2010/11) und dieses Jahr von mir (Termine im WiSe 2011/12).

„Was kommt denn in der Prüfung dran? Mit welchen Themen muss man rechnen? Sind es nicht mehr die, die ich in meiner Vorlesung gehört habe?“

Die Klausur 2012 richtet sich selbstverständlich nach der Vorlesung 2011/12. (Wie sollte es auch anders sein?) Vergleichen Sie daher selbst die Inhalte und schätzen Sie Wandel und Kontinuität richtig ein; ist dieser Punkt geklärt, so sollte Ihrer Vorbereitung nichts mehr im Wege stehen. Die Themen sind dieselben wie letztes (und ich möchte beinahe sagen: jedes) Jahr, nämlich mehrdim. Integration, Integralsätze, Wahrscheinlichkeit, Differentialgleichungen, Fourier-Reihen und -Transformation.

Wo bleibt die Gerechtigkeit?

Mir scheint, dass unter dem Eindruck der bevorstehenden Klausur neben vielen Sachfragen auch viel Ärger laut wird, auch und besonders unter Wiederholern. Der mag durchaus berechtigt sein; in jedem Fall sollten wir versuchen, die eigentlichen Ursachen zu finden – und wenn möglich zu beheben.

„Ich habe dieser Materie schon viel Zeit gewidmet und bin nicht ganz zufrieden damit, den doppelten Zeitaufwand aufgrund von Änderungen auf mich zu nehmen.“

Ich verstehe Ihre Unzufriedenheit. Versuchen Sie zunächst, die Größenordnungen richtig einzuschätzen: Sie sollten sich nicht schrecken lassen und die (wenigen) Änderungen anschauen. Den doppelten Zeitaufwand haben Sie sicherlich nicht.

Doppelter Zeitaufwand wäre es, wenn Sie völlig neue Themen lernen müssten. Das ist zum Glück nicht so. Wenn es Ihnen dennoch so vorkommt, liegt es vielleicht am zeitlichen Abstand zur letztjährigen Vorlesung: Das ist ein gänzlich anderes aber ebenso ernst zu nehmendes Problem.

Gibt es eine Wiederholungsklausur im SoSe 2012?

Ja, wie jedes Jahr ist auch im SoSe 2012 eine Wiederholungsklausur zur HM3 aus dem WiSe 2011/12 vorgesehen. Diese wird nach Möglichkeit vom selben Team betreut, gestellt und korrigiert wie im WiSe.

Gestern war heute noch morgen,
aber morgen ist heute schon gestern.

Vorlesungstermine mit Inhaltsangabe

Die Inhalte der gehaltenen Vorlesungen notiere ich im Laufe des Semesters hier stichpunktartig. Den genauen Inhalt der Vorlesung entnehmen Sie den Folien.

Vorlesungsbeginn am 17. Oktober 2011
V01 Mi 19.OktOrganisatorisches, Überblick. [1] Wiederholung zum Riemann-Integral in Dim.1, mehrdimensionale Integration, Fubini, Beispiel und Gegenbeispiel.
V02 Do 20.OktBeweis des Satzes von Fubini, messbare Mengen und ihr Volumen, Integration über messbare Bereiche, Normalbereiche, Beispiele.
VÜ Fr 21.OktVortragsübung
V03 Mi 26.OktTransformationssatz, Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Rotationskörper. [2] Von Riemann zu Lebesgue, Motivation, erste Beispiele.
V04 Do 27.OktLebesgue-Maß, messbare Funktionen, Lebesgue-Integral, dominierte Konvergenz, Fubini, Transformationssatz, Differentiation unter dem Integral.
V05 Mi 02.Nov[3] Wege und Kurven, Weglänge und Integralformel, Umparametrisierungen, reguläre Wege, glatte Kurven, Gebiete mit stückweise glattem Rand.
V06 Do 03.NovTangenten und Normalen, Weg- und Kurvenintegrale, Flussintegral, Integralsätze von Gauß und Green in der Ebene, erste Beispiele.
VÜ Fr 04.NovVortragsübung
V07 Mi 09.NovÄquivalenz von Gauss und Green, Potential und Arbeitsintegral, Rotation und Homotopie, einfacher Zusammenhang; Flächen im Raum.
V08 Do 10.NovFlächeninhalt, Beispiele, Guldinsche Regeln, Flächenintegrale, Integralsätze von Gauß und Stokes im Raum, Beispiele und Anwendungen.
V09 Mi 16.NovDie Vorlesung entfällt wegen des Unitages und der daraus resultierenden Vertreibung aus dem Hörsaal. Sie dürfen sorglos ausschlafen.
V10 Do 17.Nov[4] Wahrscheinlichkeit: Motivation, Beispiele, Mengenoperationen, endliche Wahrscheinlichkeitsräume, Produkträume für unabhängige Experimente.
VÜ Fr 18.NovVortragsübung
V11 Mi 23.NovUrnenmodelle, viele Beispiele, Geburtstagsparadox, hypergeometrische und Binomial-Verteilung, noch mehr Beispiele und Anwendungen.
V12 Do 24.NovBedingte Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes, viele Beispiele und Anwendungen, Unabhängigkeit, Vorurteile und Gerechtigkeit.
V13 Mi 30.Nov[5] Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeit, Gleichverteilung, Dichte, kumulative Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen, Unabhängigkeit.
V14 Do 01.DezErwartungswert und Varianz, Ungleichung von Chebychev, Anwendungen, Gesetze der großen Zahlen, lokaler/zentraler Grenzwertsatz, Anwendungen.
VÜ Fr 02.DezVortragsübung
V15 Mi 07.DezSumme unabhängiger Zufallsvariablen und Faltung von Verteilungen, erzeugende Funktion, Laplace- und Fourier-Transformation, Anwendungen.
V16 Do 08.Dez[6] Gewöhnliche Differentialgleichungen, Motivation und erste Beispiele, separierbare DG, exakte DG, integrierende Faktoren.
V17 Mi 14.DezSubstitution, Lineare DG 1. Ordnung, homogen und inhomogen, Variation der Konstanten, Beispiele. [7] Richtungsfelder, DGSysteme.
V18 Do 15.DezEuler-Approximation, Existenz-Satz nach Peano, Lipschitz-Stetigkeit, Eindeutigkeit und Stabilität, Picard-Lindelöf, Potenzreihenansatz.
VÜ Fr 16.DezVortragsübung
V19 Mi 21.Dez[8] Lineare Differentialgleichungen: Beispiele, Struktur des Lösungsraumes (homogen/inhomogen), Variation der Konstanten.
V20 Do 22.DezLineare DG mit konstanten Koeffizienten, char. Polynom und Nullstellen, Schwingung und Resonanz, spezielle rechte Seiten.
Weihnachtsferien vom 23. Dezember 2011 bis zum 7. Januar 2012
V21 Mi 11.Jan[9] DGSysteme: Beispiele, lineare DGSysteme, Struktur des Lösungsraumes (homogen/inhomogen), konstante Koeffizienten, Eigenvektoren.
V22 Do 12.JanVon Eigenvektoren zu Hauptvektoren, Beispiele, Jordan-Form, Matrix-Exponentialfunktion, Fundamentalmatrix, Variation der Konstanten.
VÜ Fr 13.JanVortragsübung
Sa 14.JanScheinklausur
V23 Mi 18.JanNochmal Jordan-Form, Scheinklausur. [10] Periodische Funktionen, Vektorraum mit Skalarprodukt, Orthogonalität von Sinus und Cosinus
V24 Do 19.JanFourier-Reihen der Sägezahn-, Dreieck-, Rechteckfunktion, Beobachtungen zur Konvergenz, gerade/ungerade Funktionen, Best-Approximation.
V25 Mi 25.JanOrthogonalprojektion, Konvergenz im quadratischen Mittel / punktweise / gleichmäßig, differenzieren & integrieren, Abklingen & Glattheit.
V26 Do 26.Jan[11] Komplexe Fourier-Reihen: Anwendungsbeispiele, Orthogonalität, komplexe & reelle Fourier-Reihen, Potenzreihen, Beispiele.
V27 Fr 27.JanFourier-Isometrie, Bedeutung, isopermetrisches Problem, Produkt und Faltung, Lösung inhomogener linearer DG, hermitesche Matrizen und Operatoren.
V28 Mi 01.Feb[12] Fourier-Transformation: Heuristik, Beispiele, Eigenschaften, Inversionsformel, Isometrie, Lösung von DG, Laplace-Transformation.
VÜ Do 02.FebVortragsübung (getauschter Termin!)
Fr 03.FebNachholmöglichkeit der Scheinklausur bei entschuldigter Abwesenheit
V29 Mi 08.FebL-Tabelle, Anwendung auf Differentialgleichungen. [13] Partielle Ableitungen, Wellengleichung, Lösungen nach Euler und d'Alembert.
V30 Do 09.FebLösung mittels Fourier-Reihen, Wärmeleitungsgleichung, Trennung der Variablen, allgemeine Lösung mittels Fourier-Reihen, Beispiele.
VÜ Fr 10.FebDie Vortragsübung entfällt (da wir den Hörsaal an die HM1 abgeben).
Vorlesungsende am 11. Februar 2012
Di 28.FebAbschlussklausur
 

In der Theorie gibt es keinen Unterschied
zwischen Theorie und Praxis.
In der Praxis schon.