Grenzwerte im Unendlichen.

2.10.5 Grenzwerte im Unendlichen.

Wir betrachten nun eine Funktion $f : K^{n} \to M$ , wobei $(M . d)$ ein metrischer Raum ist und $K \in {ℝ, ℂ}$ . Man kann dann formal die Definition (2.55) auf Grenzwerte im Unendlichen übertragen, wenn man die “ $δ$ -Umgebung von $\infty$ ” in $K^{n}$ folgendermaßen festlegt

U_{δ} (\infty) = {x \in K^{n} | ∥ x ∥ > δ^{- 1}} .

Man schreibt also $y_{0} = lim_{x \to \infty} f (x)$ genau dann wenn

\forall_{ε > 0} \exists_{δ_{ε} > 0} \forall_{x \in U_{δ_{ε}} (\infty) \cap X} f (x) \in U_{ε} (y_{0}) .

Im Fall $n = 1$ und $K = ℝ$ unterscheidet man ausserdem zwischen Grenzwerten in $+ \infty$ und $- \infty$ durch Betrachtung der “Umgebungen”

U_{δ} (+ \infty) = {x \in ℝ | x > δ^{- 1}}, U_{δ} (- \infty) = {x \in ℝ | - x > δ^{- 1}} .

Problem 2.10.22. Zeigen Sie, dass $f : ℝ \to ℝ$ genau dann einen Grenzwert $y = lim_{x \to \infty} f (x)$ besitzt, wenn beide Grenzwerte $lim_{x \to - \infty} f (x)$ und $lim_{x \to + \infty} f (x)$ existieren und gleich sind.

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