Endliche Familien offener und abgeschlossener Mengen.

Es sei wiederum

(M, d)

ein metrischer Raum. Wir betrachten eine endliche Familie

{F_{k}}_{k = 1}^{n}

von offenen Teilmengen

F_{k} \subset M

sowie eine endliche Familie

{G_{k}}_{k = 1}^{n}

von abgeschlossenen Teilmengen

G_{k} \subset M

. Dann gilt

Theorem 2.9.25. Die Vereinigung $\cup_{k = 1}^{n} G_{k}$ einer endlichen Familie abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Teilmenge von $M$ . Der Durchschnitt $\cap_{k = 1}^{n} F_{k}$ einer endlichen Familie offener Mengen ist eine offene Teilmenge von $M$ .

Beweis. Wir betrachten ein beliebiges Element $x_{0} \in \cap_{k = 1}^{n} F_{k}$ . Daraus folgt dass $x_{0} \in F_{k}$ für alle $k = 1, \dots, n$ . Da nach Voraussetzung jede der Mengen $F_{k}$ offen ist, so ist $x_{0}$ ein innerer Punkt jeder dieser Mengen und es gibt damit positive Konstanten $ε_{k}$ , so dass $U_{ε_{k}} (x_{0}) \subset F_{k}$ , $k = 1, \dots, n$ . Folglich gilt $U_{ε} (x_{0}) \subset F_{k}$ für alle $k = 1, \dots, n$ wobei $ε = min {ε_{1}, \dots, ε_{n}}$ . Das Minimum wird hier über eine endliche Anzahl positiver Zahlen gebildet. Es gleicht damit der kleinsten dieser Zahlen und ist also selbst positiv, d.h. $ε > 0$ . Wir erhalten nun $U_{ε} (x_{0}) \subset \cap_{k = 1}^{n} F_{k}$ und $x_{0}$ ist damit ein innerer Punkt dieses endlichen Durchschnittes. Da $x_{0}$ beliebig gewählt war, so ist $x_{0} \in \cap_{k = 1}^{n} F_{k}$ offen.

Die Anwendung der de Morganschen Gesetze auf das Komplement von $\cup_{k = 1}^{n} G_{k}$ führt nun auch zum Beweis des verbleibenden Teils des Satzes. □

Remark 2.9.26. Satz 2.9.25 kann nicht auf unendliche Durchschnitte offener oder unendliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen ausgeweitet werden. Es seien z.B. $F_{k} =] - 1 - k^{- 1}, 1 + k^{- 1} [$ offene Mengen sowie $G_{k} = [- 1 + k^{- 1}, 1 - k^{- 1}]$ abgeschlossene Mengen für $k \in ℕ$ . Es ist aber $\cap_{k = 1}^{\infty} F_{k} = [- 1, 1]$ abgeschlossen und $\cup_{k = 1}^{\infty} G_{k} =] - 1, 1 [$ ist offen.

2.9.5 Endliche Familien offener und abgeschlossener Mengen.