Aquivalenzrelationen und Aquivalenzklassen.

Desweiteren zeichnet man folgende Typen von Relationen

R \in A \times A

aus:

\begin{array}{rcl} R ist  reflexiv & \Leftrightarrow & \forall_{a \in A} a R a, \\ R ist  symmetrisch & \Leftrightarrow & \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} (a_{1} R a_{2} \Leftrightarrow a_{2} R a_{1}), \\ R ist  transitiv & \Leftrightarrow & \forall_{a_{1}, a_{2}, a_{2} \in A} ((a_{1} R a_{2} \land a_{2} R a_{3}) \Rightarrow a_{1} R a_{3}) . \end{array}

Eine Äquivalenzrelation

R

A

ist eine reflexive, symmetrische und transitive Relation in

A

. Falls

(a_{1}, a_{2}) \in R

so nennt man

a_{1}

und

a_{2}

äquivalent bezüglich

R

und schreibt

Aufgrund der Reflexivität ist

a \in {[a]}_{R}

und damit

{[a]}_{R} \neq \emptyset

. Desweiteren sind die Elemente einer Äquivalenzklasse untereinander äquivalent: Aus

a_{1}, a_{2} \in {[a]}_{R}

folgt wegen

a \sim_{R} a_{1}

und

a \sim_{R} a_{2}

nach Transitivität und Symmetrie

a_{1} \sim_{R} a_{2}

Lemma 1.3.3. Es sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf $A$ . Für beliebig gegebene $a_{1}, a_{2} \in A$ ist entweder ${[a_{1}]}_{R} = {[a_{2}]}_{R}$ oder ${[a_{1}]}_{R} \cap {[a_{2}]}_{R} = \emptyset$ .

Beweis. Wegen ${[a_{1}]}_{R} \neq \emptyset$ und ${[a_{2}]}_{R} \neq \emptyset$ bleibt zu zeigen, dass aus ${[a_{1}]}_{R} \cap {[a_{2}]}_{R} \neq \emptyset$ die Gleichheit ${[a_{1}]}_{R} = {[a_{2}]}_{R}$ folgt. Es existiere nun ein Element $b \in {[a_{1}]}_{R} \cap {[a_{2}]}_{R}$ . Für beliebiges $c \in {[a_{1}]}_{R}$ gilt $c \sim_{R} b$ . Da ausserdem $a_{2} \sim_{R} b$ , so folgt nach Symmetrie und Transitivität $a_{2} \sim_{R} c$ bzw. $c \in {[a_{2}]}_{R}$ und damit ${[a_{1}]}_{R} \subset {[a_{2}]}_{R}$ . Die umgekehrte Relation zeigt man analog. □

Corollary 1.3.4. Damit sind zwei Elemente $a_{1}, a_{2}$ entweder äquivalent und gehren ein und derselben Äquivalenzklasse ${[a_{1}]}_{R} = {[a_{2}]}_{R}$ an, oder diese Elemente sind nicht äquivalent und gehren disjunkten Äquivalenzklassen an.

1.3.2 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen.