Der Begriff der Relation.

1.3.1 Der Begriff der Relation.

Eine Relation $R$ zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge von $A \times B$ , d.h. $R \subset A \times B$ . Falls $(a, b) \in R$ so sagt man, dass $(a, b)$ die Relation $R$ erfüllt und schreibt $a R b$ . Falls $A = B$ so sagt man, dass $R$ in $A$ gegeben ist. Die Menge

V b (R) = \{a \in A | \exists_{b \in B} (a, b) \in R\}

nennt man den Vorbereich von $R$ und die Menge

N b (R) = \{b \in B | \exists_{a \in A} (a, b) \in R\}

nennt man den Nachbereich von $R$ . Die Menge $R^{- 1} = \{(b, a) | (a, b) \in R\} \subset B \times A$ nennt man die inverse Relation zu $R$ .

Example 1.3.1. Es sei $A = {1, 2, 3, 4} .$ Dann ist die Kleiner-Relation $(a_{1}, a_{2}) \in R \Leftrightarrow a_{1} < a_{2}$ auf $A$ wie folgt gegeben

R = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}

und es gilt $V b (R) = \{1, 2, 3\}$ sowie $N b (R) = \{2, 3, 4\}$ . Die inverse Relation ist offensichtlich die Grösser-Relation

R = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\} .

Problem 1.3.2. Es sei $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ und $B = \{2, 3, 4\}$ . Geben Sie die Elemente, den Vor- und Nachbereich sowie die inverse Relation der Teilbarkeitsrelation $(a, b) \in R \Leftrightarrow a ist Teiler von b$ an.

Man sagt $\begin{array}{rcl} R ist voreindeutig & \Leftrightarrow & \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} \forall_{b \in B} ((a_{1} R b \land a_{2} R b) \Rightarrow (a_{1} = a_{2})), \\ R ist (nach)eindeutig & \Leftrightarrow & \forall_{a \in A} \forall_{b_{1}, b_{2} \in B} ((a R b_{1} \land a R b_{2}) \Rightarrow (b_{1} = b_{2})) . \end{array}$

[next] [front] [up]