Aquivalenzquotienten und Zerlegungen von Mengen.

Eine Zerlegung einer Menge

A

ist eine Familie

F = {\{A_{κ}\}}_{κ \in K}

von Teilmengen, welche folgende Eigenschaften besitzt:

\begin{array}{rcl} \forall_{κ \in K} A_{κ} \neq \emptyset, \\ \forall_{κ_{1}, κ_{2} \in K, κ_{1} \neq κ_{2}} A_{κ_{1}} \cap A_{κ_{2}} = \emptyset, \\ ⋃_{κ \in K} A_{κ} = A . \end{array}

Die Familie

F = {{[a]}_{R} | a \in A}

aller Äquivalenzklassen bezüglich einer Äquivalenzrelation

R

in der Menge

A

bildet damit eine Zerlegung der Menge

A

. Man bezeichnet diese Zerlegung als den Quotienten

F = A ∕ R

von

A

nach

R

Problem 1.3.5. Für jede Zerlegung $F = {\{A_{κ}\}}_{κ \in K}$ einer Menge $A$ gibt es eine Äquivalenzrelation, nämlich die Relation

R = \{(a, b) | \exists_{κ \in K} (a \in A_{κ} \land b \in B_{κ})\},

deren Äquivalenzklassen mit den Elementen der Zerlegung zusammenfallen.

Example 1.3.6. Es sei $A = ℕ$ die Menge der natürlichen Zahlen. Es sei $r$ eine positive, natürliche Zahl. Zwei Zahlen $m, n \in ℕ$ sind genau dann äquivalent, wenn $| m - n |$ durch $r$ teilbar ist, d.h.

R (r) = \{(m, n) | \exists_{k \in ℕ} | m - n | = k r\} .

Man schreibt dann üblicherweise $m = n mod r$ . Der Quotient

ℕ ∕ R (r) = \{{[0]}_{R (r)}, {[1]}_{R (r)}, \dots, {[r - 1]}_{R (r)}\}

besteht aus den sogenannten Restklassen der natürlichen Zahlen bezüglich der Division durch $r$ , und $m \in {[j]}_{R (r)}$ genau dann wenn $m$ bei der Division durch $r$ den Rest $j$ lässt. So ist z.B. für $r = 2$ die Äquivalenzklasse ${[0]}_{R (2)}$ nichts anderes als die Menge der geraden natürlichen Zahlen, während ${[1]}_{R (2)}$ für die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen steht.

1.3.3 Äquivalenzquotienten und Zerlegungen von Mengen.