Supremum und Infimum.

Nach Problem 2.3.2 ist das Supremum bzw. das Infimum, falls es existiert, eindeutig bestimmt. Da ja beschränkte Mengen nicht unbedingt ein Maximum oder Minimum besitzen müssen, so stellt sich natürlicherweise die Frage nach der Existenz von Supremum und Infimum. Diese wird von folgendem Satz vom Supremum und Infimum beantwortet:

Beweis. Wir beweisen die Aussage für das Supremum. Wegen $M \neq \emptyset$ und $M_{+} \neq \emptyset$ gibt es Punkte $x_{0} \in M$ und $y_{0} \in M_{+}$ woraus u.a. auch $x_{0} \leq y_{0}$ folgt. Falls dabei $x_{0} = y_{0},$ so folgt $y_{0} = min M_{+} = sup M$ . Tatschlich, sonst müsste es ein $ỹ_{0} \in M_{+}$ mit $ỹ_{0} < y_{0}$ geben, was wegen $ỹ_{0} < x_{0} = y_{0}$ zum Widerspruch zu $ỹ_{0} \in M_{+}$ führt.

Es sei nun $x_{0} < y_{0}$ . Wir berechnen dann $α_{0} = 2^{- 1} (x_{0} + y_{0})$ , für welches offensichtlich $x_{0} < α_{0} < y_{0}$ gilt. Falls $α_{0} \in M_{+}$ so setzen wir $x_{1} : = x_{0}$ und $y_{1} : = α_{0}$ . Falls hingegen $α_{0} \notin M_{+}$ , so ist $α_{0}$ keine obere Schranke von $M$ und nach (2.18) gibt es ein $x_{1} \in M$ mit $α_{0} < x_{1}$ , zudem sei $y_{1} : = y_{0}$ . Iterativ setzten wir nun $α_{k} : = \frac{x_{k} + y_{k}}{2}$ und mit Hilfe der analogen Fallunterscheidung bezüglich dem Sachverhalt $α_{k} \in M_{+}$ definieren wir so zwei Folgen ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ und ${y_{k}}_{k \in ℕ}$ , wobei dabei für alle $k \in ℕ$ offensichtlich stets $x_{k} \in M$ und $y_{k} \in M_{+}$ gilt.

Nach Konstruktion der Folgen gilt ${x_{k}} ↑$ und ${y_{k}} ↓$ . Wegen $x_{k} \in M$ und $y_{1} \in M_{+}$ gilt $x_{k} \leq y_{1}$ für alle $k \in ℕ$ . Ebenso gilt wegen $y_{k} \in M_{+}$ und $x_{1} \in M$ auch $x_{1} \leq y_{k}$ für alle $k \in ℕ$ . Damit sind diese Folgen monoton und beschränkt und nach Satz 2.2.14 sowie Problem 2.2.15 existieren reelle Grenzwerte $\tilde{x} = lim_{k \to \infty} x_{k}$ und $ỹ = lim_{k \to \infty} y_{k}$ . Zudem halbiert sich der Abstand zwischen den Folgengliedern $x_{k} \leq y_{k}$ bei jedem Iterationsschritt, d.h.

0 \leq y_{k} - x_{k} \leq 2^{- 1} (y_{k - 1} - x_{k - 1}) \leq \dots \leq 2^{- k} (y_{0} - y_{0}), k \in ℕ .

Nach Satz 2.1.12 folgt $lim_{k \to \infty} (y_{k} - x_{k}) = 0 = ỹ - \tilde{x}$ .

Wir setzen nun $a = \tilde{x} = ỹ$ und zeigen dass $a = sup M = min M_{+}$ . Zunächst folgt aus $y_{k} \in M_{+}$ die Ungleichung

\forall_{x \in M} \forall_{k \in ℕ} x \leq y_{k} .

Im Grenzwert $k \to \infty$ ergibt sich daraus

\forall_{x \in M} x \leq y_{k} = ỹ = a

und damit $a \in M_{+}$ . Angenommen $a$ erfüllt nicht $a = min M_{+}$ . Dann gibt es ein reelle Zahl $y^{^{'}} \in M_{+}$ mit $y^{^{'}} < a = ỹ$ . Da $x_{k} \in M$ folgt damit $x_{k} \leq y^{^{'}}$ und im Grenzwert $a = \tilde{x} \leq y^{^{'}} < ỹ = a$ , was zum Widerspruch und damit zu $a = min M_{+}$ und schliesslich $a = sup M$ führt. □

⁷Falls $M_{+} = \emptyset$ so schreibt man oft auch $sup M = + \infty$ .

⁸Falls $M_{-} = \emptyset$ so schreibt man oft auch $inf M = - \infty$ .

2.3.2 Supremum und Infimum.