Maximum und Minimum.

2.3.1 Maximum und Minimum.

Definition 2.3.1. Es sei $M \neq \emptyset$ eine Teilmenge aus $ℝ$ . Wir sagen, dass $a$ das Maximum der Menge $M$ ist, falls $a \in M$ und $\forall_{x \in M} a \geq x$ . Wir sagen, dass $a$ das Minimum der Menge $M$ ist, falls $a \in M$ und $\forall_{x \in M} a \leq x$ .⁶

Problem 2.3.2. Zeigen Sie, dass das maximale (bzw. minimale) Element einer Menge, soweit es existiert, eindeutig bestimmt ist.

Example 2.3.3. Es sei $M = [0, 1] = {x \in ℝ | 0 \leq x \leq 1}$ . Dann gilt offensichtlich $0 = min M$ und $1 = max M$ .

Example 2.3.4. Für $M = [0, 1) = {x \in ℝ | 0 \leq x < 1}$ gilt $0 = min M$ , allerdings kann $1$ nicht das Maximum von $M$ sein, da $1 \notin M$ . Die gegebene Menge $M$ besitzt auch kein anderes Maximum: Tatschlich, für beliebiges $y \in M$ , d.h. $0 \leq y < 1$ finden wir ein $ỹ$ mit $0 \leq y < ỹ < 1,$ d.h. $ỹ \in M$ aber $y < ỹ$ .

Somit besitzt nicht jede beschränkte Menge notwendigerweise ein Maximum respektive Minimum.

Definition 2.3.5. Es sei $M$ eine Teilmenge aus $ℝ$ . Wir nennen $C \in ℝ$ eine $\begin{array}{rcl} obere Schranke für M & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{x \in M} x \leq C, & (2.18) \\ untere Schranke für M & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{x \in M} x \geq C . & (2.19) \end{array}$

Im weiteren sei $M_{+}$ die Menge der oberen Schranken und $M_{-}$ die Menge der unteren Schranken der Menge $M$ . Wir nennen die Menge $M \subset ℝ$ $\begin{array}{rcl} beschränkt nach oben & \overset{def}{\Leftrightarrow} & M_{+} \neq \emptyset, \\ beschränkt nach unten & \overset{def}{\Leftrightarrow} & M_{-} \neq \emptyset . \end{array}$

⁶Man bezeichnet $a$ dann auch maximales bzw. minimales Element der Menge $M$ .

[next] [front] [up]