1.2.2  Operationen mit Mengen.

Die Menge $B$ ist eine Teilmenge oder Untermenge von $A$, kurz $B\subset A$, falls alle Elemente von $B$ auch Elemente von $A$ sind. Diese Definition kann man kurz wie folgt schreiben. Falls $B\subset A$ und $B\ne A$ so ist $B$ eine echte Teilmenge von $A$.

Die leere Menge $\varnothing =\left\{x\in A|x\notin A\right\}$ ist eine Teilmenge jeder Menge $A$.

Für zwei Mengen $A$ und $B$ definieren wir die Operationen des Durchschnitts, der Vereinigung und der Differenz wie folgt $$\begin{array}{rcll}A\cap B& :=& \left\{x|\left(x\in A\right)\wedge \left(x\in B\right)\right\},& \\ A\cup B& :=& \left\{x|\left(x\in A\right)\vee \left(x\in B\right)\right\},& \\ A\backslash B& :=& \left\{x|\left(x\in A\right)\wedge \left(x\notin B\right)\right\}.& \end{array}$$

Falls $A\cap B=\varnothing$, so nennt man die Mengen $A$ und $B$ disjunkt.

Falls $A\subset M$ so ist die Menge $A_M^c=M\backslash A$ das Komplement von $A$ in $M$.

Es sei $K$ in eine beliebige Indexmenge. Mit jedem Index $\kappa \in K$ sei eine Menge $A_{\kappa }$ eines Mengensystems ${\left\{A_{\kappa }\right\}}_{\kappa \in K}$ verknüpft. Wir definieren

Das Kreuzprodukt bzw. das kartesische Produkt $A\times B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge der geordneten Paare² $\left(a,b\right)$ mit $a\in A$ und $b\in B$. Desweiteren setzt man $A^2=A\times A$, $A^3=A^2\times A$ usw. Dann besteht $A^n$ aus der Menge aller geordneten $n$-Tupel $\left(a_1,a_2,\dots ,a_n\right)$.