Oben wurden im wesentlichen Strukturen der naiven Mengenlehre beschrieben. Dabei setzt man als selbstverständlich voraus, dass
d.h. es ist stets entscheidbar, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht. Folgendes Beispiel zeigt, dass dieses Konzept nicht widerspruchsfrei ist:
Example 1.2.7. (Russelsche Antinomie) Es sei die Familie aller Mengen , welche sich nicht selbst als Teilmenge enthalten, d.h. . Wenn eine Menge ist, dann gilt entweder oder . Falls , so ist nach Definition eine Menge, die sich nicht selbst enthält, d.h. . Falls , dann ist nach Definition eine Menge, die sich selbst enthält, d.h. .
Wie man sieht, sind nicht alle Aussageformen geeignet, Mengen zu definieren. In der axiomatischen Mengenlehre wird deshalb versucht, Klassen von zur Definition von Mengen geeignete Aussageformen spezifiziert. Wir gehen nicht weiter auf diesen Problemkreis ein.