Der naive Mengenbegriff .

1.2.1 Der naive Mengenbegriff .

Nach Cantor ist eine Menge eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen; diese Objekte heißen Elemente der Menge [1].

Example 1.2.1. $A = {M,a,t,h,e,m,i,k}$ ist die Menge der Buchstaben im Wort Mathematik, wobei wir zwischen Gross- und Kleinbuchstaben unterscheiden.

Die Elemente einer Menge sind a priori nicht geordnet. So gilt z.B.

{M,a,t,h,e,m,i,k} = {a,e,h,i,k,m,t,M} .

Wenn ein Objekt $x$ in einer Menge $A$ enthalten ist, so sagen wir “ $x$ ist ein Element von $A$ ” und schreiben $x \in A$ oder $A ∋ x$ . Falls hingegen $x$ nicht in der Menge $A$ enthalten ist, so schreiben wir $x \notin A$ oder $A ∌ x$ . Nach dem Extensionalitätsprinzip sind zwei Mengen $A$ und $B$ gleich, falls diese dieselben Elemente besitzen. Demnach sind Mengen durch ihre Extension, d.h. durch die in ihr enthaltenen Objekte bestimmt und lassen sich durch die Angabe aller Elemente beschreiben.

Alternativ lässt sich eine Menge $A$ mit Hilfe einer Eigenschaft (einer Aussageform) $H (\cdot)$ angeben. Man sagt, dass $A$ durch $H$ gegeben ist, falls $x \in A$ genau dann, wenn $H (x)$ wahr ist und man schreibt

A = {x | H (x)} .

Example 1.2.2. Die Aussage

H (x) : = (x ist  ein  Buchstabe  des  Wortes  Mathematik)

bestimmt die Menge $A$ im Beispiel 1.2.1. Da $H (M)$ wahr ist gilt $M \in A$ . Andererseits ist $H (K)$ falsch und $K \notin A$ .

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