Zur Faktorisierung von Polynomen mit reellen Koeffizienten.

Lemma 1.12.5. Es sei $P_{n} (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ ein Polynom in $z \in ℂ$ mit reellen Koeffizienten $a_{k} \in ℝ$ , $k = 0, \dots, n$ . Dann gilt $P_{n} (\bar{z}) = \bar{P_{n} (z)}$ für beliebiges $z \in ℂ$ .

Beweis. Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen $\begin{array}{rcl} \bar{z_{1} + z_{2}} & = & \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}, \\ \bar{z_{1} \cdot z_{2}} & = & \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}, \end{array}$

welche für beliebige $z_{1}, z_{2} \in ℂ$ gilt. Aus letzterer Beziehung folgt induktiv $\bar{z^{k}} = {\bar{z}}^{k}$ für $k \in ℕ$ . Damit erhalten wir wegen $a_{k} \in ℝ$ , $k = 0, \dots, n$ auch $\begin{array}{rcl} \bar{P_{n} (z)} & = & \bar{a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}} \\ = & \bar{a_{n} z^{n}} + \bar{a_{n - 1} z^{n - 1}} + \dots + \bar{a_{1} z} + \bar{a_{0}} \\ = & a_{n} {\bar{z}}^{n} + a_{n - 1} {\bar{z}}^{n - 1} + \dots + a_{1} \bar{z} + a_{0} . \end{array}$

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Daraus folgt insbesondere, dass für ein Polynom mit reellen Koeffizienten zusammen mit

P_{n} (c) = 0

stets auch

P_{n} (\bar{c}) = 0

gilt. Damit ist eine Nullstelle von

P_{n}

entweder reell oder die zu ihr komplex konjugierte Zahl ist ebenfalls eine Nullstelle.

Es sei nun

c = α + i β

mit

α, β \in ℝ

und

β = Im c

eine Nullstelle von

P_{n}

. Wir faktorisieren wie oben beschrieben

c

und

\bar{c}

aus

P_{n} (z)

und erhalten wegen

mit

A = - 2 α \in ℝ

B = α^{2} + β^{2} \in ℝ

die Darstellung

\begin{array}{rcl} P_{n} (z) & = & (z - c) (z - \bar{c}) Q_{n - 2; c} (z) \\ = & (z^{2} + A z + B) Q_{n - 2; c} (z) . \end{array}

Da sowohl

P_{n} (z)

als auch

z^{2} + A z + B

ausschließlich reelle Koeffizienten besitzen, so ist leicht zu sehen, dass auch

Q_{n - 2; c} (z)

nur reelle Koeffizienten besitzt. Also lässt sich die Prozedur wiederholen, falls

c

und damit auch

\bar{c}

ebenfalls Nullstellen von

Q_{n - 2; c} (z)

sind. Damit sehen wir, dass die Ordnung der Nullstellen

c

und

\bar{c}

übereinstimmen.

Es seien nun

x_{j}

die reellen Nullstellen von

P_{n}

(falls diese existieren) und

c_{l}^{\pm} = α_{l} \pm i β_{l}

mit

α_{l}, β_{l} \in ℝ

und

β_{l} \neq 0

die konjugierten Paare komplexer Nullstellen (falls diese existieren). Es sei

p_{j}

die Ordnung von

x_{j}

und

q_{l}

die Ordnungen von

c_{l}^{\pm}

. Dann folgt aus (1.48) entgültig

wobei

n_{k} \in {0, 1, \dots, n}

für

k = 1, 2

und

A_{l} = - 2 α_{l} \in ℝ

sowie

B_{l} = α_{l}^{2} + β_{l}^{2} \in ℝ

Falls wir in (1.49)

P_{n}

auf

z = x \in ℝ

reduzieren, so beschreibt (1.49) die Faktorisierung von Polynomen über dem Körper

ℝ

. Man beachte, dass der Beweis dieser Aussage über Eigenschaften reeller Polynome (also der reellen Theorie) essenziell auf der Anwendung der komplexen Theorie, insbesondere des Hauptsatzes der Algebra beruht!

1.12.3 Zur Faktorisierung von Polynomen mit reellen Koeffizienten.