1.11.2  Reelle und imaginäre Zahlen.

Wir betrachten nun die Teilmenge

der komplexen Zahlen. Man überprüft leicht, dass diese Menge bezüglich der Grundrechenarten abgeschlossen ist, welche dabei wie folgt wirken: $$\begin{array}{rcll}\left(x_1,0\right)\pm \left(x_2,0\right)& =& \left(x_1\pm x_2,0\right),& \\ \left(x_1,0\right)\cdot \left(x_2,0\right)& =& \left(x_1{x}_2,0\right),& \\ \left(x_1,0\right):\left(x_2,0\right)& =& \left(\frac{x_1}{x_2},0\right).& \end{array}$$

Die Abbildung $j:x\mapsto \left(x,0\right)$ ist also eine Bijektion zwischen $ℝ$ und ${ℂ}_{\text{Re}}$, welche zudem die Strukturen des Körpers respektiert:

und $j\left(0\right)=\left(0,0\right)$ sowie $j\left(1\right)=\left(1,0\right)$. Die entsprechenden Elemente der Mengen verhalten sich bei Anwendungen der Grundrechenoperationen identisch. Man sagt dann, dass $ℝ$ zu ${ℂ}_{\text{Re}}$ isomorph ist und schreibt $ℝ\stackrel{iso}{\sim }{ℂ}_{\text{Re}}$. Die reellen Zahlen lassen sich also mit Hilfe der Isometrie $j$ als Teilmenge von $ℂ$ realisieren. Die manchmal etwas irreführende Schreibweise $ℝ\subset ℂ$ ist genaugenommen als

zu verstehen. Anstelle von $\left(x,0\right)$ schreibt man dabei oft kurz $x.$

Eine weitere wichtige Teilmenge von $ℂ$ sind die imaginären Zahlen

Diese Menge ist abgeschlossen bezüglich der Addition, aber nicht bezüglich der Multiplikation, wie folgendes wichtige Beispiel illustriert

Die imaginäre Zahl $\left(0,1\right)$ bezeichnet man oft durch $i$, welche auch als imaginäre Einheit bezeichnet wird. In Kurzschreibweise lautet Gleichung (1.39) dann

Eine beliebige komplexe Zahl schreibt man auch wie folgt

Die komplexe Zahl $z=x+iy$ lässt sich als Punkt $\left(x,y\right)$ in einem kartesischen Koordinatensystem verstehen. Man spricht deshalb auch von der komplexen Zahlenebene $ℂ$. Die $x$-Achse entspricht der Punktmenge ${ℂ}_{\text{Re}}=\left\{\left(x,0\right)\right\}$ und wird deshalb als reelle Achse bezeichnet; die $y$-Achse entspricht der Punktmenge ${ℂ}_{\text{Im}}=\left\{\left(0,y\right)\right\}$ und wird als imaginäre Achse bezeichnet.