Der Korper der komplexen Zahlen.

1.11.1 Der Körper der komplexen Zahlen.

Die komplexen Zahlen $z \in ℂ$ sind Zahlenpaare $z = (x, y) \in ℝ^{2}$ reeller Zahlen, auf welchen wir die Operationen der Addition und der Multiplikation wie folgt einführen $\begin{array}{rcl} + : ℝ^{2} \times ℝ^{2} \to ℝ^{2}, & \underset{z_{1}}{\underset{︸}{(x_{1}, y_{1})}} + \underset{z_{2}}{\underset{︸}{(x_{2}, y_{2})}} : = \underset{z_{1} + z_{2}}{\underset{︸}{(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})}}, \\ \cdot : ℝ^{2} \times ℝ^{2} \to ℝ^{2}, & \underset{z_{1}}{\underset{︸}{(x_{1}, y_{1})}} \cdot \underset{z_{2}}{\underset{︸}{(x_{2}, y_{2})}} : = \underset{z_{1} \cdot z_{2}}{\underset{︸}{(x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})}} . \end{array}$

Problem 1.11.1. Verifizieren Sie, dass $ℝ^{2}$ mit dieser Addition und Multiplikation die Axiome des Körpers erfüllen, wobei für $z = (x, y)$ $\begin{array}{rcl} 0 = (0, 0) & das neutrale Element der Addition, \\ 1 = (1, 0) & das neutrale Element der Multiplikation, \\ - z = (- x, - y) & das inverse Element der Addition, \\ z^{- 1} = (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{- y}{x^{2} + y^{2}}) & das inverse Element der Multiplikation \end{array}$

ist. Letzteres ist definiert für $z \neq 0$ .

Mit Hilfe der inversen Elemente der Addition und der Multiplikation kann man zunächst die Subtraktion und die Division definieren. Für $z_{k} = (x_{k}, y_{k})$ mit $k = 1, 2$ sei $\begin{array}{rcl} z_{1} - z_{2} & : = & z_{1} + (- z_{2}) = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}), \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & : = & z_{1} \cdot z_{2}^{- 1} = (\frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}, \frac{- x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}) . \end{array}$

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