Vergleichsrelationen zwischen den Kardinalzahlen

1.10.3 Vergleichsrelationen zwischen den Kardinalzahlen

Definition 1.10.7.

card (A) \leq card (B) \overset{def}{\Leftrightarrow} \exists_{B_{1} \subset B} A \sim B_{1} .

Dabei kann $B_{1}$ sowohl eine echte als auch eine unechte Teilmenge von $B$ sein, d.h. der Fall $B_{1} = B$ ist nicht ausgeschlossen. Zudem gilt

card (A) < card (B) \overset{def}{\Leftrightarrow} (card (A) \leq card (B)) \land \neg (A \sim B) .

Problem 1.10.8. Beweisen Sie, dass die Vergleichsrelation $\leq$ reflexiv und transitiv ist!

Die Antisymmetrie von $\leq$ folgt aus dem Satz von Cantor-Bernstein:⁸

Theorem 1.10.9.

A \sim B \Leftrightarrow \exists_{A_{1} \subset A} \exists_{B_{1} \subset B} (A_{1} \sim B) \land (A \sim B_{1}) .

Der Beweis dieser Aussage ist nicht zu kompliziert, wir verzichten allerdings aus Gründen der Kompaktheit der Darstellung darauf. Der interessierte Leser sei auf das Buch [] S.52 verwiesen.

Problem 1.10.10. Beweisen Sie ausgehend vom Satz von Cantor-Bernstein die Antisymmetrie

(card (A) \leq card (B)) \land (card (B) \leq card (A)) \Leftrightarrow (card (A) = card (B)) .

Man kann auch zeigen, da für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$ $\begin{array}{rcl} entweder & card (A) \leq card (B) \\ oder & card (B) \leq card (A) \end{array}$

gilt, d.h. zwei beliebige Kardinalzahlen sind stets vergleichbar.

⁸Die Notation $A_{1} \subset A$ und $B_{1} \subset B$ schliesst die Fälle $A_{1} = A$ und $B_{1} = B$ ein.

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