Die Addition der reellen Zahlen.

Auch im weiteren bezeichne

\sim

die in (1.30) eingeführte Äquivalenzrelation auf der Menge der rationalen Cauchy-Folgen.

Lemma 1.8.1. Es sei ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ und ${s_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ . Dann gilt auch ${r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ .

Beweis. Nach der Dreiecksungleichung für rationale Zahlen gilt $\begin{array}{rcl} | (r_{m} + s_{m}) - (r_{n} + s_{n}) | & = & | (r_{m} - r_{n}) + (s_{m} - s_{n}) | & (1.32) \\ \leq & | r_{m} - r_{n} | + | s_{m} - s_{n} | . \end{array}$

Nach Voraussetzung sind ${r_{n}}, {s_{n}} \in CF (ℚ)$ und damit existieren für jedes $ε > 0$ natürliche Zahlen $N_{ε ∕ 2, r}$ und $N_{ε ∕ 2, s}$ , so dass

| r_{m} - r_{n} | < ε ∕ 2 und | s_{m} - s_{n} | < ε ∕ 2

für beliebige $n, m \geq N_{ε} = max {N_{ε ∕ 2, r}, N_{ε ∕ 2, s}}$ gelten. Also folgt wegen (1.32) auch

\forall_{m, n \geq N_{ε}} | (r_{m} - s_{n}) - (r_{n} + s_{n}) | < ε .

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Lemma 1.8.2. Es seien ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ , ${r_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}$ , ${s_{n}}_{n \in ℕ}$ sowie ${s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}$ rationale Fundamentalfolgen, wobei

{r_{n}}_{n \in ℕ} \sim {r_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ} und {s_{n}}_{n \in ℕ} \sim {s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ} .

Dann gilt ${r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ} \sim {r_{n}^{'} + s_{n}^{'}}_{n \in ℕ}$ .

Beweis. Nach Lemma 1.8.1 sind die beiden Folgen ${r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${r_{n}^{^{'}} + s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}$ rationale Fundamentalfolgen. Aus

(r_{n} + s_{n}) - (r_{n}^{'} + s_{n}^{'}) = (r_{n} - r_{n}^{'}) + (s_{n} - s_{n}^{'})

folgt wegen ${r_{n}}_{n \in ℕ} \sim {r_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}$ und ${s_{n}}_{n \in ℕ} \sim {s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ}$ sowie (1.27) und (1.28)

lim_{n \to \infty} (r_{n} + s_{n} - r_{n}^{'} - s_{n}^{'}) = lim_{n \to \infty} (r_{n} - r_{n}^{'}) + lim_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n}^{'}) = 0 + 0 = 0 .

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Definition 1.8.3. Für $x, y \in ℝ$ , $x ∋ {r_{n}}_{n \in ℕ}$ , $y ∋ {s_{n}}_{n \in ℕ}$ mit ${r_{n}}_{n \in ℕ}, {s_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ gelte

x + y : = {[{r_{n} + s_{n}}]}_{\sim} .

Die Korrektheit dieser Definition folgt aus Lemma 1.8.1 und Lemma 1.8.2. Tatschlich, nach Lemma 1.8.1 ist

{r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)

und nach Lemma 1.8.2 gilt für beliebige Repräsentanten

{r_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ} \in x

{s_{n}^{^{'}}}_{n \in ℕ} \in y

stets

{r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ} \sim {r_{n}^{'} + s_{n}^{'}}_{n \in ℕ}

und damit nach Korollar 1.3.4 auch

Lemma 1.8.4. Die Addition der reellen Zahlen ist kommutativ und assoziativ: $\begin{array}{rcl} \forall_{x, y \in ℝ} & x + y = y + x, & (1.33) \\ \forall_{x, y, z \in ℝ} & (x + y) + z = x + (y + z) . & (1.34) \end{array}$

Beweis. Wir beweisen (1.33) und betrachten dazu für gegebene $x, y \in ℝ$ darstellende rationale Fundamentalfolgen ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in x$ , ${s_{n}}_{n \in ℕ} \in y$ . Die Kommutativität der Addition in $ℚ$ impliziert

x + y ∋ {r_{n} + s_{n}}_{n \in ℕ} = {s_{n} + r_{n}}_{n \in ℕ} \in y + x

und damit $x + y = y + x$ . □

1.8.1 Die Addition der reellen Zahlen.