1.7.1  Der Absolutbetrag rationaler Zahlen.

Für rationale Zahlen $q$ ist der Absolutbetrag $\left|q\right|$ wie folgt definiert $$\begin{array}{rcll}\left|q\right|:=q& \text{für}& q\ge 0,& \text{(1.19)}\\ \left|q\right|:=-q& \text{für}& q<0.& \text{(1.20)}\end{array}$$

Folgende wichtige Eigenschaften dieser Funktion sind offensichtlich. Für beliebige $p,q\in \mathbb{Q}$ gilt $$\begin{array}{rcll}& \left(\left|q\right|\ge 0\right)\wedge \left(\left(\left|q\right|=0\right)\iff \left(q=0\right)\right),& \text{Definitheit}& \text{(1.21)}\\ & |p\cdot q|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,& \text{Homogenität}& \text{(1.22)}\\ & |p+q|\le \left|p\right|+\left|q\right|.& \text{Dreiecksungleichung}& \text{(1.23)}\end{array}$$

Der Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen $p$ und $q$ ist gegeben durch $d\left(p,q\right)=|p-q|$. Die Abstandsfunktion $d$ besitzt folgende offensichtlichen Eigenschaften: Für beliebige $p,q,r\in \mathbb{Q}$ gilt $$\begin{array}{rcll}& \left(d\left(p,q\right)\right)\ge 0\wedge \left(d\left(p,q\right)=0\right)\iff \left(p=q\right))& \text{Definitheit}& \text{(1.24)}\\ & d\left(p,q\right)=d\left(q,p\right),& \text{Symmetrie}& \text{(1.25)}\\ & d\left(p,r\right)\le d\left(p,q\right)+d\left(q,r\right).& \text{Dreiecksungleichung}& \text{(1.26)}\end{array}$$