Logische Gesetze.

In der mathematischen Schlussweise ist es oft nützlich, eine Aussagenverknüpfung durch eine andere ihr äquivalente zu ersetzen. Zum Beispiel gilt

d.h. zwei Aussagen

p

q

sind äquivalent genau dann, wenn aus

p

die Aussage

q

folgt und wenn aus

q

die Aussage

p

folgt.¹ Die Beziehung (1.1) kann man formal verifizieren, wenn man alle möglichen Belegungen der Variablen

p

und

q

einsetzt und zeigt, dass dabei die Aussage (1.1) in jedem Fall wahr ist

\begin{matrix} (p & \Leftrightarrow & q \end{matrix}) \Leftrightarrow ((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)) 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 .

Problem 1.1.3. Beweisen Sie die folgenden wichtigen logischen Gesetze:

\begin{matrix} \neg (p \land q) & \Leftrightarrow & (\neg p) \lor (\neg q), \\ \neg (p \lor q) & \Leftrightarrow & (\neg p) \land (\neg q), \\ (p \Rightarrow q) & \Leftrightarrow & (\neg q) \Rightarrow (\neg p), \\ (p \Rightarrow q) & \Leftrightarrow & (\neg p) \lor q, \\ \neg (p \Rightarrow q) & \Leftrightarrow & p \land (\neg q), \\ p \land (q \land r) & \Leftrightarrow & (p \land q) \land r, \\ p \lor (q \lor r) & \Leftrightarrow & (p \lor q) \lor r . \end{matrix}

Welche davon beschreibt das Prinzip des indirekten Beweises?

¹Die Beziehung $p \Leftrightarrow q$ beschreibt man auch damit, daß “ $p$ eine hinreichende und notwendige Bedingung für $q$ ” ist.