Der All- und der Existenzquantor.

1.1.3 Der All- und der Existenzquantor.

Wir benutzen im weiteren oft die Quantoren $\forall$ “für alle” und $\exists$ “es gibt”. Danach ist $\forall_{x} H (x)$ genau dann wahr, wenn $H (x)$ für alle zugelassenen $x$ wahr ist. Die Beziehung $\exists_{x} H (x)$ ist wahr, falls es zumindest ein zugelassenes $x$ gibt, für welches $H (x)$ gilt. Den Quantor $\exists!$ “es gibt genau ein” kann man wie folgt definieren

\exists!_{x} H (x) \Leftrightarrow (\exists_{x} H (x)) \land (H (y) \Rightarrow (y = x)) .

Problem 1.1.4. Es sei $H (\cdot)$ eine Aussageform. Untersuchen Sie die folgenden Äquivalenzen

\neg (\forall_{x} H (x)) \Leftrightarrow \exists_{x} (\neg H (x)), \neg (\exists_{x} H (x)) \Leftrightarrow \forall_{x} (\neg H (x)) .

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