Mathematische Aussagen.

1.1.1 Mathematische Aussagen.

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen [1]. Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:

Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Example 1.1.1. “Die Zahl 2 ist kleiner als die Zahl 3” ist eine wahre Aussage. “Die Zahl 5 ist kleiner als die Zahl 3” ist eine falsche Aussage. Der Satz “Diese Aussage ist nicht wahr” ist keine mathematische Aussage.

Die Negation $\neg p$ (nicht) einer Aussage $p$ ist durch folgende Wahrheitstabelle gegeben


$p$	$\neg p$

0	1

1	0

Für zwei Aussagen $p$ , $q$ definiert man deren Verknüpfungen Konjunktion $p \land q$ , Alternative $p \lor q$ , Implikation $p \Rightarrow q$ und Äquivalenz $p \Leftrightarrow q$ wie folgt


$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \Rightarrow q$	$p \Leftrightarrow q$




0	0	0	0	1	1

0	1	0	1	1	0

1	0	0	1	0	0

1	1	1	1	1	1

Bei der sprachlichen Formulierung mathematischer Sachverhalte ist es wichtig, die logische Struktur der jeweiligen Aussage eindeutig widerzuspiegeln. Die oben angegebenen Wahrheitstabellen beschreiben, wie die Phrasen “nicht” ( $\neg$ ), “und” ( $\land$ ), “oder” ( $\lor$ ), “wenn ... dann” ( $\Rightarrow$ ) sowie “genau dann wenn” ( $\Leftrightarrow$ ) verstehen. Die Phrase “entweder $p$ oder $q$ ” entspricht der Konstruktion $(p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q)$ .

Man spricht von einer Aussageform $H (\cdot)$ , wenn diese durch das Einsetzen einer konkreten Variablen $x$ zu einer Aussage $H (x)$ wird.

Example 1.1.2. Es sei $x$ eine reelle Zahl. Für die Aussageformen $\begin{array}{rcl} H_{1} (x) & = & (x^{2} - 3 x + 2 = 0), \\ H_{2} (x) & = & ((x = 1) \lor (x = 2)) \end{array}$

gilt $H_{1} (x) \Leftrightarrow H_{2} (x)$ .

Eine typische mathematische Behauptung hat die Struktur $p \Rightarrow q$ . Hier ist $p$ die Voraussetzung und $q$ die Behauptung. Wir sagen auch, daß “ $p$ eine hinreichende Bedingung für $q$ ” ist bzw. daß “ $q$ eine notwendige Voraussetzung für $p$ ” ist. Ein Beweis ist nun eine Kette von Schlussfolgerungen $p \Rightarrow r_{1} \Rightarrow \dots \Rightarrow r_{n} \Rightarrow q$ , wobei jedes Element der Kette eine bereits bewiesene Behauptung bzw. ein Axiom darstellt.

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