4.10.5  Der Schwerpunkt einer Fläche.

Es sei $y=f\left(x\right)$ eine stetige nichtnegative Funktion auf $\left[a,b\right]$ und $\delta ={\left\{x_k\right\}}_{k=0}^n$ sei eine Zerlegung von $\left[a,b\right]$. Dann liegt der Schwerpunkt des Rechtecks

in dessen Mittelpunkt $\left({\xi }_k,y_k\right)=\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2},\frac{f\left(x_k\right)}{2}\right)$. Die Masse eines solchen Rechtecks sei proportional zu dessen Fläche $f\left(x_k\right)\Delta x_k$. Den gemeinsamen Schwerpunkt aller Rechtecke $F_k$ erhält man, indem man deren jeweilige Masse im jeweiligen Schwerpunkt $\left({\xi }_k,y_k\right)$ konzentriert, und dann den Schwerpunkt des dabei entstehenden Systems von Massepunkten betrachtet

Im Grenzwert $\lambda \left(\delta \right)\to 0$ konvergieren diese Grössen folgendermaßen $$\begin{array}{rcll}{X}_s& =\underset{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{lim}{X}_s^{\delta }=& \frac{{\int \; <!--nolimits-->}_a^{b}xf\left(x\right)dx}{A\left(\Omega \right)},& \\ Y_s& =\underset{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{lim}{Y}_s^{\delta }=& \frac{\frac{1}{2}\int \; <!--nolimits-->{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx}{A\left(\Omega \right)},& \text{(4.82)}\end{array}$$

wobei

für den Flächeninhalt des Gebietes

steht. Man nimmt dann $\left(X_s,Y_s\right)$ als den Schwerpunkt des Gebietes $\Omega$ an.

Im Vergleich mit (4.78) führt uns Formel (4.82) zur zweiten Guldinschen Regel:

Diese Regel erstreckt sich auch auf Körper, die durch Rotation einer geschlossenen Jordanschen Kurve, welche die $x$-Achse nicht durchschneidet, gebildet werden. Dabei sind dann der Schwerpunkt des von der Kurve eingeschlossenen Gebietes und die Fläche dieses eingeschlossenen Gebietes einzusetzen.