Die Substitution der Integrationsvariablen.

Theorem 4.6.2. Es sei $f \in C ([a, b], ℝ)$ . Für die Funktion $φ \in C ([α, β], [a, b])$ gelte $φ (α) = a$ , $φ (β) = b$ . Ausserdem sei $φ$ in $] α, β [$ differenzierbar und die Ableitung $φ^{'}$ sei stetig in $] α, β [$ sowie stetig auf $[α, β]$ fortsetzbar. Dann gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} (f \circ φ) (t) φ^{'} (t) d t .

(4.37)

Beweis. Offensichtlich gilt $f \circ φ \in C ([α, β], ℝ)$ . Da zudem $φ^{'}$ stetig auf $[α, β]$ fortsetzbar ist, so folgt $(f \circ φ) φ^{'} \in C ([α, β], ℝ) \subset R [α, β]$ , d.h. das bestimmte Integral auf der rechten Seite von (4.37) existiert.

Als stetige Funktion besitzt $f$ nach Satz 4.3.6 eine Stammfunktion

F (x) = \int_{a}^{x} f (s) d s, x \in [a, b] .

(4.38)

Die Funktion $F$ ist stetig und es gilt die Formel von Newton und Leibniz

F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (s) d s .

(4.39)

Setzt man in (4.38) $x = φ (t) \in [a, b]$ für gegebenes $t \in [α, β]$ , so gilt

(F \circ φ) (t) = \int_{a}^{φ (t)} f (s) d s .

Die Funktion $F \circ φ$ ist als Komposition stetiger Funktionen auf $[α, β]$ stetig. Als Stammfunktion von $f$ ist $F$ differenzierbar und es gilt $F_{x}^{'} = f$ . Differenziert man $F \circ φ$ in $t$ , dann erhält man nach der Kettenregel

\frac{d}{d t} (F \circ φ) (t) = (F_{x}^{'} \circ φ) (t) φ_{t}^{'} (t) = (f \circ φ) (t) φ_{t}^{'} (t) .

Als stetige Funktion besitzt $(f \circ φ) \cdot φ^{'}$ eine Stammfunktion, welche bis auf eine Konstante mit $F \circ φ$ übereinstimmt. Wiederum nach der Formel von Newton und Leibniz gilt damit

\int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = F (φ (β)) - F (φ (α)) = F (b) - F (a) .

Vergleicht man dies mit (4.39), so erhält man (4.37). □

4.6.2 Die Substitution der Integrationsvariablen.