Die partielle Integration.

4.6.1 Die partielle Integration.

Theorem 4.6.1. Die Funktionen $f, g \in C ([a, b], ℝ)$ seien differenzierbar in $] a, b [$ und es sei $f^{'} g \in R [a, b]$ und $f g^{'} \in R [a, b]$ .⁷ Dann gilt die Formel

\int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x = {f (x) g (x)|}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x .

(4.36)

Beweis. Wir betrachten die Funktion $F (x) = f (x) g (x)$ und deren Ableitung $F^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ . Diese erfüllen nach geeigneter Fortsetzung in den Randpunkten des Integrationsbereiches die Voraussetzungen von Satz 4.3.1. Die Formel (4.36) des partiellen Integrierens folgt dann direkt aus 4.16. □

⁷Wir erweitern die Ableitungen in den Randpunkten formal durch $g^{'} (a) = f^{'} (a) = g^{'} (b) = f^{'} (b) = 0$ , siehe Anmerkung 4.3.2.

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