Die Formel von Newton und Leibniz.

Der folgende Satz formuliert den von Newton und Leibniz gefundenen zentralen Zusammenhang zwischen der Differential- und Integralrechnung.

Theorem 4.3.1. Die Funktion $F \in C ([a, b], ℝ)$ sei in $] a, b [$ differenzierbar. Wir definieren die Funktion

Ḟ (x) : = \{\begin{matrix} F^{'} (x), x \in \end{matrix}] a, b [0, x = a \lor x = b,

und es sei $Ḟ \in R [a, b]$ . Dann gilt

\int_{a}^{b} Ḟ (x) d x = F (b) - F (a) = : {F (x)|}_{a}^{b} .

(4.16)

Beweis. Wir betrachten eine Zerlegung $δ$ von $[a, b]$ . Dann gilt nach der Formel von Lagrange (3.26) $\begin{array}{rcl} F (b) - F (a) & = & \sum_{k = 0}^{n - 1} (F (x_{k + 1}) - F (x_{k})) \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} F^{'} (ξ_{k}) (x_{k + 1} - x_{k}), \end{array}$

für geeignete Werte $ξ_{k} \in] x_{k}, x_{k + 1} [$ . Dabei bildet $ξ = {ξ_{k}}_{k = 0}^{n - 1}$ einen Satz von Stützstellen für $δ$ . Aus $Ḟ \in R [a, b]$ folgt damit

F (b) - F (a) = \sum_{k = 0}^{n - 1} F^{'} (ξ_{k}) Δ x_{k} = Σ (Ḟ; δ, ξ) \overset{λ (δ) \to 0}{\to} \int_{a}^{b} Ḟ (x) d x .

Da $F (b) - F (a)$ nicht von der Wahl der Zerlegung $δ$ abhängt, so ist

F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} Ḟ (x) d x .

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Remark 4.3.2. Die Einführung der Erweiterung $Ḟ$ von $F^{'}$ ist formal notwendig, da Integrierbarkeit nur für auf einem abgeschlossenen Intervall gegebene Funktionen definiert worden ist, die Ableitung $F^{'}$ aber nur im Inneren des Intervalls bestimmt ist.

Man kann aber leicht sehen, dass jeder auf $[a, b]$ integrierbaren Funktionen in den Endpunkten $a$ und $b$ beliebige (endliche) neue Funktionswerte zugeordnet werden können, ohne dass sich dabei die Integrierbarkeit oder der Wert des Integrales verändern. Damit ist die konkrete Wahl der Erweiterung $Ḟ$ von $F^{'}$ für die Gültigkeit der Formel (4.16) unerheblich, und man schreibt oft einfach

F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} (x) d x .

4.3.1 Die Formel von Newton und Leibniz.