Die Formel von Lagrange.

3.5.4 Die Formel von Lagrange.

Theorem 3.5.5. Die Funktion $f \in C ([a, b], ℝ)$ sei in $] a, b [$ differenzierbar. Dann existiert ein Punkt $c \in] a, b [$ mit der Eigenschaft

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) .

(3.26)

Beweis. Die Formel (3.26) ist ein Spezialfall von (3.25) für

g (x) = x .

□

Die hier bewiesenen Sätze lassen sich nicht auf komplexwertige Funktionen verallgemeinern. Als Gegenbeispiel betrachten wir die Funktion

f : [- π, π] \to ℂ, f (x) = e^{i x} .

Die Funktion $f$ ist stetig, $f (- π) = e^{- i π} = 1 = e^{i π} = f (π)$ , aber $f^{'} (x) = i e^{i x} \neq 0$ für alle $x \in [- π, π]$ . Dies widerspricht dem Satz von Rolle. Wendet man formal die Formel von Lagrange (und damit auch die Formel von Cauchy) auf dieselbe Funktion an, so würde daraus

0 = f (π) - f (- π) = f^{'} (c) \cdot 2 π = i e^{i c} \cdot 2 π \neq 0, c \in] - π, π [,

folgen.

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