Beweis. Wir betrachten die Menge $M=\left\{1\right\}\cup \left\{n\in \mathbb{N}|{\exists }_{m\in \mathbb{N}}\left(m^{\prime }=n\right)\right\}$. IA: Offensichtlich gilt $1\in M$. IS: Mit $n\in M$ gilt immer auch $n^{\prime }\in M$, denn $n^{\prime }$ ist ja Nachfolger von $m=n$. Daraus folgt dann $M=\mathbb{N}$. □

Beweis. Nach dem vorhergehenden Lemma gibt es einen Vorgänger $m$ zu $n=m^{\prime }$ und damit

mit $p=m$ und folglich $n>1$. □

Beweis. Wir führen eine Induktion in $n$ durch. IA: $1+p\stackrel{\left(1.13\right)}{=}p+1=p^{\prime }\ne 1$, da nach (P3) $1$ nicht Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl ist. IS: Es sei $n+p\ne n$ für beliebige $p\in \mathbb{N}$ und gewisses $n$, woraus $n^{\prime }+p\ne n^{\prime }$ für beliebige $p\in \mathbb{N}$ zu schliessen ist. GA: Es sei $n^{\prime }+p=n^{\prime }$ für ein $p\in \mathbb{N}$. Dann gilt

und nach (P4) $n=n+p$, was zum Widerspruch führt. □

Beweis. Es sei $n$ eine beliebige natürliche Zahl, welche wir fixieren. Wir betrachten die Mengen $$\begin{array}{rcll}{\mathbb{N}}_{<}& :=& \left\{k\in \mathbb{N}|k<n\right\},& \\ {\mathbb{N}}_{>}& :=& \left\{k\in \mathbb{N}|n<k\right\},& \\ M& :=& {\mathbb{N}}_{<}\cup \left\{n\right\}\cup {\mathbb{N}}_{>}.& \end{array}$$

Im Schritt 1 zeigen wir zunächst $M=\mathbb{N}$, damit tritt mindestens einer der Fälle (1.17) auf. IA:Es gilt $1\in M$. Für $n=1$ ist dies klar, falls $n\ne 1$ so haben wir nach Lemma 1.6.6 $1\in {\mathbb{N}}_{<}\subset M$. IS: Es sei $m\in M$, wir zeigen dass dann $m^{\prime }\in M$. Dazu unterscheiden wir drei Fälle: Falls $m=n$ so gilt $m^{\prime }=n+1>n$ und $m^{\prime }\in {\mathbb{N}}_{>}$. Falls $m\in {\mathbb{N}}_{>}$ so gilt $m>n$, also $m=n+p$ und

Damit gilt $m^{\prime }>n$, d.h. $m^{\prime }\in {\mathbb{N}}_{>}$. Im letzten Fall sei $m\in {\mathbb{N}}_{<}$ und damit $n=m+p$. Ist dabei $n\ne m^{\prime }$ so gilt $p\ne 1$. Dann gibt es nach Lemma 1.6.6 $q\in \mathbb{N}$ mit $p=q^{\prime }=q+1$. Wegen

folgt $m^{\prime }<n$ und $m^{\prime }\in {\mathbb{N}}_{<}$. Für $n=m^{\prime }$ ist $m^{\prime }\in M$ offensichtlich. Zusammenfassend folgt $M=\mathbb{N}$.

Im zweiten Schritt müssen wir beweisen, dass nur einer der drei Fälle (1.17) eintreten kann, d.h. ${\mathbb{N}}_{<}\cup \left\{n\right\}\cup {\mathbb{N}}_{>}$ ist eine paarweise disjunkte Zerlegung von $\mathbb{N}$. Wir zeigen z.B. $n\notin {\mathbb{N}}_{<}$.Tatschlich, für beliebiges $m\in {\mathbb{N}}_{<}$ haben wir $n=m+p\ne m$ aufgrund Lemma 1.6.7. Die Untersuchung von $n\notin {\mathbb{N}}_{>}$ und ${\mathbb{N}}_{<}\cap {\mathbb{N}}_{>}=\varnothing$ überlassen wir dem Leser. □