1.6.6  Die ganzen und die rationalen Zahlen.

Die Einführung weiterer Zahlenbereiche diskutieren wir nicht so detailliert, teilweise werden diese Fragen in der Vorlesung Lineare Algebra besprochen. Die ganzen Zahlen ergeben sich als zwei Kopien von $\mathbb{N}$ (mit gegensätzlicher Ordnung) nach Hinzufügen der $0$, also

Die Vergleichsrelationen, die Multiplikation und Addition lassen sich von $\mathbb{N}$ auf $\mathbb{Z}$ übertragen, zudem ist die Subtraktion stets durchführbar. Die rationalen Zahlen sind Brüche teilerfremder ganzer Zähler durch natürliche Nenner. Dies lässt sich wie folgt formalisieren: $$\begin{array}{rcll}\mathbb{Q}& =& \left(\mathbb{Z}\times \mathbb{N}\right)∕\sim ,& \\ \left(p_1,q_1\right)\sim \left(p_2,q_2\right)& \iff & p_1{q}_2=p_2{q}_1,p_1,p_2\in \mathbb{Z},q_1,q_2\in \mathbb{N}.& \end{array}$$

Im folgenden benutzen wir die bekannten Regeln der Grundrechenarten (Kommutativität, Assoziativität sowie Distributivität der Addition und Multiplikation) sowie der Vergleichsrelationen in $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$. Insbesondere erfüllen zwei rationale Zahlen $x$ und $y$ immer genau eine der drei Aussagen