Herleitung elementarer Eigenschaften von Addition und Multiplikation

1.6.4 Herleitung elementarer Eigenschaften von Addition und Multiplikation

Die Addition der natürlichen Zahlen ist assoziativ und kommutativ: $\begin{array}{rcl} \forall_{n, m, k \in ℕ} (n + m) + k = n + (m + k), & (1.12) \\ \forall_{n, m \in ℕ} n + m = m + n . & (1.13) \end{array}$

Zur Illustration leiten wir (1.13) her, wobei (1.12) als bewiesen gilt:

Schritt 1:

\forall_{m \in ℕ} m + 1 = 1 + m .

(1.14)

Wir beweisen (1.14) durch vollständige Induktion in $m$ . IA:Wegen $1 + 1 = 1 + 1 = 1^{'} = 2$ gilt (1.14) für $m = 1$ . IS: Es gelte (1.14) für ein bestimmtes $m$ , wir müssen daraus $m^{'} + 1 = 1 + m^{'}$ schliessen. Dies folgt aus

1 + m^{'} \overset{(1.9)}{=} {(1 + m)}^{'} \overset{(1.14)}{=} {(m + 1)}^{'} \overset{(1.8)}{=} {(m^{'})}^{'} \overset{(1.8)}{=} m^{'} + 1 .

Schritt 2:

\forall_{m, n} m + n = n + m .

(1.15)

Wir führen nun eine Induktion in $n$ durch. Der IA für $n = 1$ folgt aus (1.14). Im IS setzen wir

\forall_{m \in ℕ} m + n = n + m

(1.16)

für gewisses $n$ voraus und müssen daraus $m + n^{'} = n^{'} + m$ für alle $m \in ℕ$ schliessen. Dies folgt wiederum aus $\begin{array}{rcl} m + n^{'} \overset{(1.9)}{=} & {(m + n)}^{'} \overset{(1.16)}{=} & {(n + m)}^{'} \overset{(1.8)}{=} \\ (n + m) + 1 \overset{(1.12)}{=} & n + (m + 1) \overset{(1.14)}{=} & n + (1 + m) \overset{(1.12)}{=} \\ (n + 1) + m \overset{(1.8)}{=} & n^{'} + m . □ \end{array}$

Problem 1.6.2. Beweisen Sie (1.12) auf Grundlage der Peanoschen Axiome.

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