Grundlegende Definitionen.

Es seien

a

und

b

reelle Zahlen und es gelte

a < b

. Wir wählen eine endliche Anzahl von Punkten

x_{k} \in I = [a, b]

k = 0, \dots, n

, so dass

Dann heisst die Menge

δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}

eine Zerlegung von

I = [a, b]

. Im weiteren benutzen wir die Notationen

den Rang der Zerlegung

δ

. Für eine gegebene Zerlegung

δ

sei

ξ = {ξ_{k}}_{k = 0}^{n - 1}

ein Satz von Stützstellen, wenn

Wir betrachten nun eine Funktion

f : [a, b] \to ℝ

. Für eine Zerlegung

δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}

sowie für einen entsprechenden Satz von Stützstellen

ξ = {ξ_{k}}_{k = 0}^{n - 1}

definiere

Definition 4.1.1. Die Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ heißt Riemann-integrierbar und $J \in ℝ$ sei das Riemann-Integral von $f$ auf $[a, b]$ , genau dann wenn

J = lim_{λ (δ) \to 0} Σ (f; δ, ξ),

wobei dieser Grenzwert folgendermaßen zu verstehen ist: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $Λ_{ε} > 0$ , so dass für jede beliebige Zerlegung $δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}$ von $[a, b]$ mit $λ (δ) < Λ_{ε}$ und für jeden entsprechenden Satz von Stützstellen $ξ = {ξ_{k}}_{k = 0}^{n - 1}$ für $δ$ die Abschätzung

|J - Σ (f; δ, ξ)| < ε

gilt¹. Man schreibt dann

J = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Problem 4.1.2. Zeigen Sie, da die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist:

\forall_{ε > 0} \exists_{Λ_{ε} > 0} \forall_{\overset{δ^{'}}{λ (δ^{'}) < Λ_{ε}}} \forall_{\overset{δ^{″}}{λ (δ^{″}) < Λ_{ε}}} \forall_{ξ^{'} für δ^{'}} \forall_{ξ^{″} für δ^{″}} | Σ (f; δ^{'} ξ^{'}) - Σ (f; δ^{″}, ξ^{″}) | < ε .

Mit

R [a, b]

bezeichnen wir im weiteren die Menge der auf

[a, b]

Riemann-integrierbaren Funktionen

f : [a, b] \to ℝ

Für komplex- oder vektorwertige Funktionen lässt sich der Begriff des Riemann-Integrals nun sofort folgendermassen definieren: Eine Funktion

f : [a, b] \to ℂ

ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sowohl

Re f \in R [a, b]

als auch

Im f \in R [a, b]

. Dabei gilt

Eine Funktion

f : [a, b] \to K^{m}

heisst Riemann-integrierbar, genau dann wenn jede Komponente

ϕ_{j} (x) = π_{j} (f (x))

Riemann-integrierbar ist. Das Integral der Vektorfunktion wird bestimmt durch die komponentweisen Identitäten

Wir behalten uns jedoch die Bezeichnung

R [a, b]

für reellwertige Riemann-integrierbaren Funktionen

f : [a, b] \to ℝ

vor.

Theorem 4.1.3. Jede Funktion $f \in R [a, b]$ ist auf $[a, b]$ beschränkt.

Beweis. Ist $f$ unbeschränkt auf $[a, b]$ , so findet sich für jede beliebige Zerlegung $δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}$ mindestens einen Teilintervall $Δ_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}]$ , auf welchem $f$ unbeschränkt ist. Durch geeignete Wahl der Stützstelle $ξ_{k} \in Δ_{k}$ kann man dann den Absolutbetrag der Riemann-Summe $| Σ (f; δ, ξ) |$ beliebig groß werden lassen. Da dies unabhängig vom Wert von $λ (δ)$ möglich ist, so erhalten wir einen Widerspruch zur Definition der Riemann-Integrierbarkeit von $f$ . □

¹In Kurzschreibweise fassen wir diese Bedingung folgendermassen zusammen:

J = lim_{λ (δ) \to 0} Σ (f; δ, ξ) \Leftrightarrow \forall_{ε > 0} \exists_{Λ_{ε} > 0} \forall_{δ : λ (δ) < Λ_{ε}} \forall_{ξ für δ} | J - Σ (f; δ, ξ) | < ε .

4.1.1 Grundlegende Definitionen.