Die Differentiation parametrischer Darstellungen von Kurven.

3.13.2 Die Differentiation parametrischer Darstellungen von Kurven.

Wir betrachten die beiden differenzierbare Funktionen $f :] a, b [\to ℝ$ und $ψ :] α, β [\to] a, b [$ . Wir nehmen an, dass die Funktion $y = f (x)$ in der parametrischen Darstellung $x (t) = ψ (t)$ und $y (t) = (f \circ ψ) (t)$ gegeben ist. Dabei gelte $t_{0} \in] α, β [$ , $x_{0} = x (t_{0}) = ψ (t_{0}) \in] α, β [$ sowie $y_{0} = y (t_{0}) = f (x_{0})$ .

Sind die Ableitungen $\overset{\cdot}{x} (t_{0}) = {\frac{d x}{d t}|}_{t = t_{0}} \neq 0$ sowie $\overset{\cdot}{y} (t_{0}) = {\frac{d y}{d t}|}_{t = t_{0}}$ bekannt, so berechnet man ${\frac{d y}{d x}|}_{x = x_{0}}$ mit Hilfe der Kettenregel

\overset{\cdot}{y} (t_{0}) = {\frac{d (f \circ ψ)}{d t}|}_{t = t_{0}} = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} \cdot {\frac{d ψ}{d t}|}_{t = t_{0}} = {\frac{d y}{d x}|}_{x = x_{0}} \cdot \overset{\cdot}{x} (t_{0})

als

{\frac{d y}{d x}|}_{x = x_{0}} = \frac{\overset{\cdot}{y} (t_{0})}{\overset{\cdot}{x} (t_{0})} .

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