Geradlinige Asymptoten.

ist eine Asymptote an den Graph der Funktion

f (x)

für

x \to + \infty,

genau dann wenn

Umgekehrt sind (3.55) und (3.56) hinreichend für (3.54). Insbesondere ist die Existenz dieser beiden Grenzwerte gleichbedeutend mit der Existenz einer geradlinigen Asymptote.

Example 3.13.2. Als Beispiel berechnen wir die Gleichungen der Asymptoten an die Hyperbel

\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{f^{2} (x)}{B^{2}} = 1, A, B > 0,

für $x \to + \infty$ . Daraus ergeben sich die beiden Zweige der Funktion $f (x) = \pm \frac{B}{A} \sqrt{x^{2} - A^{2}}$ . Die Grenzwerte für die Koeffizienten der Asymptote berechnen sich folgendermaßen

a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \pm \frac{B}{A} \sqrt{1 - \frac{A^{2}}{x^{2}}} = \pm \frac{B}{A} .

Weiterhin gilt $\begin{array}{rcl} f (x) \mp \frac{B}{A} x & = & \pm \frac{B}{A} (\sqrt{x^{2} - A^{2}} - x) \\ = & \pm \frac{B}{A} \frac{(x^{2} - A^{2}) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} - A^{2} + x}} = \mp \frac{A B}{x + \sqrt{x^{2} - A^{2}}} \end{array}$

und damit

b = lim_{x \to + \infty} (f (x) \mp \frac{B}{A} x) = 0 .

Als weiterführende Literatur für eine Vielzahl von praktischen Beispielen zu den Anwendungen der Differentialrechnung empfiehlt sich Fichtenholz Band I.

3.13.3 Geradlinige Asymptoten.