Zu den Extremwerten einer Funktion.

Für eine stetige Funktion

f : [a, b] \to ℝ

gibt es nach dem Satz von Weierstrass immer einen Punkt

c \in [a, b]

mit

f (c) = max_{x \in [a, b]} f (x)

. Letzteres ist äquivalent zur Aussage

f (c) - f (x) \geq 0

für alle

x \in [a, b]

. Der Satz von Fermat (Satz 3.5.1) formuliert mit

f^{'} (c) = 0

eine notwendige Bedingung dafür, dass das Maximum einer in

] a, b [

differenzierbaren Funktion in einem inneren Punkt

c \in] a, b [

angenommen wird. Wir diskutieren im weiteren hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremwertes.

Theorem 3.10.4. Die Funktion $f \in C ([a, b], ℝ)$ sei differenzierbar in $] a, b [$ . Für den Punkt $c \in] a, b [$ gelte $f^{'} (c) = 0$ und zudem sei $f^{'} (x) \geq 0$ für $x \in] a, c [$ sowie $f^{'} (x) \leq 0$ für $x \in] c, b [$ . Dann gilt

f (c) = max_{x \in [a, b]} f (x) .

Beweis. Wir betrachten einen Punkt $x \in [a, c] .$ Nach dem Satz von Lagrange gilt

f (c) - f (x) = f^{'} (ξ) (c - x) für  ein  geeignetes ξ \in] x, c [.

Nach Voraussetzung sind beide Faktoren auf der rechten Seite dieser Gleichung nichtnegativ und damit $f (c) - f (x) \geq 0$ für alle $x \in [a, c] .$ Den Fall $x \in [c, b]$ löst man analog. □

Theorem 3.10.6. Die Funktion $f \in C ([a, b], ℝ)$ sei zweifach differenzierbar in $] a, b [$ . Für den Punkt $c \in] a, b [$ gelte $f^{'} (c) = 0$ und zudem sei $f^{''} (x) \leq 0$ für alle $x \in] a, b [$ . Dann gilt

f (c) = max_{x \in [a, b]} f (x) .

Beweis. Aus $f^{″} (x) \leq 0$ folgt $f^{'} ↓$ . Ist nun $f^{'} (c) = 0$ so gilt damit $f^{'} (x) \geq 0$ für $x \in] a, c [$ sowie $f^{'} (x) \leq 0$ für $x \in] c, b [$ . Wir können damit Satz 3.10.4 anwenden, was die geforderte Aussage sofort beweist. □

Definition 3.10.7. Man sagt die Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ nimmt im Punkt $c \in] a, b [$ ein lokales Maximum an, genau dann wenn Werte $α, β \in [a, b]$ , $α < c < β$ existieren, so dass

f (c) = max_{x \in} α, β [f (x) .

Theorem 3.10.8. Die Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ sei im Punkt $c \in] a, b [$ zweifach differenzierbar und es gelte $f^{'} (c) = 0$ sowie $f^{''} (c) < 0$ . Dann nimmt $f$ im Punkt $c$ ein lokales Maximum an.

Beweis. Nach dem Satz von Taylor gilt

f (x) = f (c) + \underset{= 0}{\underset{︸}{f^{'} (c) (x - c)}} + \frac{1}{2} f^{″} (c) {(x - c)}^{2} + r_{2} (x - c)

mit $r_{2} (x - c) = o {(x - c)}^{2}$ für $x \to c$ . Letztere bedeutet, dass für beliebiges $ε > 0$ ein $δ > 0$ existiert, so dass

| r_{2} ((x - c)) | \leq ε {(x - c)}^{2}, x \in] c - δ, c + δ [.

Wählen wir nun z.B. $δ > 0$ so, dass $ε : = 4^{- 1} | f^{''} (c) | {(x - c)}^{2} > 0$ für $x \in] c - δ, c + δ [$ . Dann folgt

f (x) - f (c) \leq - \frac{1}{4} | f^{''} (c) | {(x - c)}^{2} \leq 0 für x \in] c - δ, c + δ [,

was die Aussage beweist. □

Theorem 3.10.9. Die Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ sei im Punkt $c \in] a, b [$ $n + 1$ -fach differenzierbar und es gelte

f^{(1)} (c) = \dots = f^{(n)} (c) = 0 und f^{(n + 1)} (c) < 0 .

Ist $n$ gerade, so nimmt $f$ in $c$ weder ein Minimum noch ein Maximum an. Ist $n$ ungerade, so nimmt $f$ im Punkt $c$ ein lokales Maximum an.

Problem 3.10.10. Satz 3.10.9 folgt aus der Darstellung

f (x) - f (c) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - c)}^{n + 1} + o ({(x - c)}^{n + 1}) .

Vervollständigen Sie den Beweis!

3.10.3 Zu den Extremwerten einer Funktion.