Der Satz von Fermat.

Theorem 3.5.1. Angenommen es gibt einen Punkt $c \in] a, b [$ in dem die Funktion $f$ differenzierbar ist und für welchen

f (c) = max_{x \in [a, b]} f (x) oder f (c) = min_{x \in [a, b]} f (x)

gilt. Dann folgt

f^{'} (c) = 0 .

Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall $f (c) = max_{x \in [a, b]} f (x)$ . Ist $f$ in dem inneren Punkt $c \in] a, b [$ differenzierbar, so existiert nach Satz 2.10.13 mit dem Grenzwert $f^{'} (c) = lim_{h \to 0} φ (f; c, h)$ des Differenzenquotienten auch der links- sowie der rechtsseitige Grenzwert¹¹

f^{'} (c - 0) : = lim_{h \to 0 - 0} φ (f; c, h), f^{'} (c + 0) : = lim_{h \to 0 + 0} φ (f; c, h),

und es gilt $f^{'} (c) = f^{'} (c + 0) = f^{'} (c - 0)$ . Da in dem betrachteten Fall nach Voraussetzung $f (c + h) - f (c) \leq 0$ gilt, so folgt aus $\begin{array}{rcl} φ (f; h, c) = h^{- 1} (f (c + h) - f (c)) \geq 0 & für & h < 0, c + h \in [a, b], \\ φ (f; h, c) = h^{- 1} (f (c + h) - f (c)) \leq 0 & für & h > 0, c + h \in [a, b], \end{array}$

im jeweiligen Grenzwert $f (c) = f^{'} (c - 0) \geq 0$ und $f^{'} (c) = f^{'} (c + 0) \leq 0$ , d.h. $f^{'} (c) = 0$ . Der Fall $f (c) = min_{x \in [a, b]} f (x)$ ergibt sich sofort, wenn man den eben bewiesenen Teil der Aussage auf $- f$ anwendet. □

Problem 3.5.2. Die Aussage des Satzes von Fermat gilt nur für innere Punkte $c$ des Intervalls $[a, b]$ und lässt sich auch nicht auf die links- bzw. rechtsseitigen Ableitungen für $c = b$ bzw. $c = a$ verallgemeinern. Finden Sie ein Gegenbeispiel und untersuchen Sie, an welcher Stelle die Argumentation im obigen Beweis dann verfehlt!

¹¹Man nennt $f^{'} (c - 0)$ und $f^{'} (c + 0)$ auch den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert von $f$ in $c$ .

3.5.1 Der Satz von Fermat.