3.9.2  Differentiale höherer Ordnung.

Für eine im Punkt $x_0\in X$ $m$-fach differenzierbare Funktion $f:X\to K^n$ definiert man zunächst formal das Differential $m$-ter Ordnung als

Für den Fall $h_1=\cdots =h_m$ schreibt man kurz

Unter Benutzung der Notation $h=dx$ ergibt sich $d^{m}f\left(x_0\right)=d^{m}f\left(x_0\right)\left[dx\right]=f^{\left(m\right)}\left(x_0\right){\left(dx\right)}^m$, was die für Ableitungen höherer Ordnung gebräuchliche Bezeichnung $f^{\left(m\right)}\left(x_0\right)={\left.\frac{d^{m}f}{d{x}^m}\right|}_{x=x_0}$ motiviert.

Zwischen die Differentialen unterschiedlicher Ordnung besteht eine wichtige Beziehung. Wir betrachten dazu das Differential erster Ordnung $df\left(x_0\right)\left[h\right]$ als Funktion in der Variablen $x_0\in X$ bei fixiertem Parameter $h\in K$. Der Zuwachs dieser Grösse bei einer Verschiebung von des Argumentes $x_0$ um $\tilde{h}\in K$ ist bei einer im Punkt $x_0$ zweifach differenzierbaren Funktion $f$ gegeben durch $$\begin{array}{rcll}\Delta \left(df\left(x_0\right)\left[h\right]\right)\left[\tilde{h}\right]& =& df\left(x_0+\tilde{h}\right)\left[h\right]-df\left(x_0\right)\left[h\right]& \\ & =& \left(f^{\prime }\left(x_0+\tilde{h}\right)-f^{\prime }\left(x_0\right)\right)h=\left(f^{″}\left(x_0\right)\tilde{h}+o\left(\tilde{h}\right)\right)h.& \text{(3.37)}\end{array}$$

Wegen

wobei $d\left(df\left(x_0\right)\left[h\right]\right)\left[\tilde{h}\right]$ den in $\tilde{h}$ linearen Anteil des Zuwachses von $df\left(x_0\right)\left[h\right]$ beschreibt, gilt damit

Für $\tilde{h}=h$ erhält man

Setzt man dies in (3.37) ein, so ergibt sich

Die Gleichung (3.38) schreibt man auch kurz als

In gleicher Weise erhält man

wenn $f$ in $x_0$ $m$-fach differenzierbar ist.

Der Satz von Taylor lässt sich in der Sprache der Differentiale folgendermassen formulieren: Es gilt

für $h\to 0$, wenn $f$ in $x_0$ $m$-fach differenzierbar ist.