Die Invarianz des Differentials erster Ordnung.

3.9.3 Die Invarianz des Differentials erster Ordnung.

Zusätzlich zur Funktion $f : X \to K^{n}$ betrachten wir die Abbildung $φ : Y \to X$ , wobei $X$ und $Y$ offene Mengen in $K$ sind. Es sei $(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y$ mit $x_{0} = φ (y_{0})$ . Die Funktionen $f$ und $φ$ seien in den Punkten $x_{0}$ bzw. $y_{0}$ differenzierbar. Wie oben beschrieben ist das Differential erster Ordnung von $f : X \to K^{n}$ in $x_{0}$ gegeben durch

d f (x_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} d x .

(3.40)

Hierbei betrachtet man $x$ als “unabhängige” Variable und $d x$ als Verschiebung dieser Variablen.

Nun sei $F : Y \to K^{n}$ gegeben durch $F (y) = (f \circ φ) (y)$ . Das Differential dieser Funktion im Punkt $y_{0}$ ist gleich

d F (y_{0}) = {\frac{d F}{d y}|}_{y = y_{0}} d y .

Da nach der Kettenregel

{\frac{d F}{d y}|}_{y = y_{0}} = (f_{x}^{'} \circ φ) (y_{0}) φ_{y}^{'} (y_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} φ_{y}^{'} (y_{0})

gilt, so erhält man daraus

d F (y_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} φ_{y}^{'} (y_{0}) d y .

Gleichzeitig ist das Differential der Funktion $x = φ (y)$ im Punkt $y_{0}$ gegeben durch

d x (y_{0}) = d φ (y_{0}) = φ_{y}^{'} (y_{0}) d y .

Daraus folgt

d F (y_{0}) = d (f \circ φ) (y_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}} d x (y_{0}) .

(3.41)

Hier ist $x$ eine durch die Beziehung $x = φ (y)$ abhängige Variable und $d x (y_{0})$ steht für das Differential dieser Abhängigkeit.

Vergleicht man (3.40) und (3.41) so erkennt man, dass sich das Differential in beiden Fällen nach dem formal denselben Ausdruck berechnet, gleich ob man $x$ als unabhängige oder abhängige Variable betrachtet. Diese Eigenschaft bezeichnet man als die Invarianz des Differentials der ersten Ordnung.

Das Differential erster Ordnung ist die lineare Approximation einer Abbildung. Deshalb drückt diese Invarianz folgendes aus: Die lineare Approximation einer Komposition von Abbildungen ist gleich der Komposition der linearen Approximationen der einzelnen Abbildungen.

Die genannte Invarianz erstreckt sich nicht auf Differentiale höherer Ordnung: Dazu betrachten wir das zweite Differential

d^{2} f (x_{0}) = f^{″} (x_{0}) {(d x)}^{2}

(3.42)

von $f : X \to K^{n}$ als Funktion der unabhängigen Variablen $x$ . Für eine abhängige Variable $x = φ (y)$ berechnet sich das zweite Differential von $f \circ φ : Y \to K^{n}$ als $\begin{array}{rcl} d^{2} F (y_{0}) & = & {\frac{d^{2} (f \circ φ)}{d y^{2}}|}_{y = y_{0}} {(d y)}^{2} = {\frac{d}{d y} (f_{x}^{'} \circ φ) φ_{y}^{'}|}_{y = y_{0}} {(d y)}^{2} \\ = & [{(f_{x}^{'} \circ φ)}_{y}^{'} (y_{0}) φ_{y}^{'} (y_{0}) + (f_{x}^{'} \circ φ) (y_{0}) φ_{y y}^{''} (y_{0})] {(d y)}^{2} \\ = & (f_{x x}^{''} \circ φ) (y_{0}) {(φ_{y}^{'} (y_{0}) d y)}^{2} + (f_{x}^{'} \circ φ) (y_{0}) φ_{y y}^{''} (y_{0}) {(d y)}^{2} \\ = & f^{''} (x_{0}) {(d x (y_{0}))}^{2} + f^{'} (x_{0}) d^{2} x (y_{0}) . & (3.43) \end{array}$

Die Ausdrücke in (3.42) und (3.43) sind verschieden, die Form des zweiten Differentials hängt also von der Wahl der “unabhängigen” Variablen ab!

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