Das Differential erster Ordnung.

3.9.1 Das Differential erster Ordnung.

Es sei $K = {ℝ, ℂ}$ und $X$ sei eine offene Teilmenge von $X$ . Die Funktion $f : X \to K^{n}$ sei im Punkt $x_{0} \in X$ differenzierbar. Nach (3.15) ist dies äquivalent zu

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) h + o (h), h \to 0 .

(3.35)

Bezeichnet man mit $Δ f (x_{0}) [h]$ den Zuwachs $f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ der Funktion $f$ im Punkt $x_{0}$ bei einer Verschiebung $h$ des Argumentes, so ist

d f (x_{0}) [h] : = f^{'} (x_{0}) h

der lineare Anteil des Zuwachses von $f$ .¹²Man bezeichnet diese lineare Abbildung

d f (x_{0}) [\cdot] : K \to K^{n}

als das Differential von $f$ im Punkt $x_{0}$ . Die Identität (3.35) kann man dann als

Δ f (x_{0}) [h] = d f (x_{0}) [h] + o (h), h \to 0,

schreiben. Manchmal benutzt man auch die Notation $h = d x$ und schreibt

d f (x_{0}) = d f (x_{0}) [d x] = f^{'} (x_{0}) d x .

Dies motiviert die übliche Scheibweise $f^{'} (x_{0}) = {\frac{d f}{d x}|}_{x = x_{0}}$ .

¹²In beiden Bezeichnungen betrachtet man $x_{0}$ als fixierten Parameter und $h$ als die veränderliche Variable.

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