Der Satz von Leibniz.

Theorem 3.7.1. Wir betrachten zwei im Punkt $x_{0} \in X$ $m - f a c h$ differenzierbare Funktionen $g : X \to K$ und $f : X \to K^{n}$ . Dann ist das Produkt $g \cdot f$ in $x_{0} \in X$ $m$ -fach-differenzierbar und es gilt

{(g \cdot f)}^{(m)} (x_{0}) = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) g^{(k)} (x_{0}) f^{(m - k)} (x_{0}) .

(3.30)

Beweis. Wir führen den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion in $m$ . Für $m = 1$ wurde die Beziehung

{(g \cdot f)}^{'} (x_{0}) = g (x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}) \cdot f (x_{0})

im Satz 3.3.1 bewiesen. Als Induktionsvoraussetzung gelte (3.30) für ein $m \in ℕ$ . Dann berechnet sich die $m + 1$ -Ableitung als $\begin{array}{rcl} {(g \cdot f)}^{(m + 1)} & = & {({(g \cdot f)}^{(m)})}^{'} \overset{IV}{=} {(\sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) g^{(k)} f^{(m - k)})}^{'} \\ = & \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) {(g^{(k)} f^{(m - k)})}^{'} \\ \overset{IA}{=} & \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) (g^{(k + 1)} f^{(m - k)} + g^{(k)} f^{(m + 1 - k)}) \\ = & (\binom{m + 1}{0}) g f^{(m + 1)} + (\binom{m + 1}{m + 1}) g^{(m + 1)} f + \\ + \sum_{k = 1}^{m} [(\binom{m}{k - 1}) + (\binom{m}{k})] g^{(k)} f^{(m + 1 - k)} . \end{array}$

Für die Binominalkoeffizienten gibt es die bekannte Beziehung

(\binom{m}{k - 1}) + (\binom{m}{k}) = (\binom{m + 1}{k}), m \geq k, k, m \in ℕ \cup {0},

aus welcher damit im Induktionsschritt

{(g \cdot f)}^{(m + 1)} = \sum_{k = 0}^{m + 1} (\binom{m + 1}{k}) g^{(k)} f^{(m + 1 - k)}

folgt. □

Example 3.7.2. Wir betrachten die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = x^{2} e^{a x}$ mit $a \in ℝ$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} f^{(2003)} (x) & = & x^{2} {(e^{a x})}^{(2003)} + (\binom{2003}{1}) {(x^{2})}^{'} {(e^{a x})}^{(2002)} \\ + (\binom{2003}{2}) {(x^{2})}^{''} {(e^{a x})}^{(2001)} . \end{array}$

Die verbleibenden Summanden verschwinden, da höhere Ableitungen von $x^{2}$ gleich $0$ sind. Damit gilt wegen ${(e^{a x})}^{(k)} = a^{k} e^{a x}$ die Gleichung

f^{(2003)} (x) = a^{2003} x^{2} e^{a x} + 4006 \cdot a^{2002} x e^{a x} + 2003 \cdot 2002 \cdot a^{2001} e^{a x} .

3.7.2 Der Satz von Leibniz.