Ableitungen hoherer Ordnung.

3.7.1 Ableitungen höherer Ordnung.

Es sei $K \in {ℝ, ℂ}$ und $X$ sei eine offene Teilmenge von $K$ . Wir betrachten eine Funktion $f : X \to K^{n}$ . Ist diese Funktion in einer $ε$ -Umgebung $U_{ε} (x_{0})$ eines Punktes $x_{0} \in X$ differenzierbar, so ist deren Ableitung dort eine Abbildung $f^{'} : U_{ε} (x_{0}) \to K^{n}$ . Ist diese wiederum im Punkt $x_{0}$ differenzierbar, so nennt man

{\frac{d^{2} f}{d x^{2}}|}_{x = x_{0}} = f^{''} (x_{0}) = f^{(2)} (x_{0}) : = {(f^{'})}^{'} (x_{0})

die zweite Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ . Diese Definition setzt man iterativ fort. Existieren die ersten $m - 1$ Ableitungen $f^{'}, \dots, f^{(m - 1)}$ von $f$ in einer $ε$ -Umgebung von $x_{0}$ und ist $f^{(m - 1)} : U_{ε} (x_{0}) \to K^{n}$ im Punkt $x_{0} \in X$ differenzierbar, so nennt man

{\frac{d^{m} f}{d x^{m}}|}_{x = x_{0}} = f^{(m)} (x_{0}) : = {(f^{(m - 1)})}^{'} (x_{0})

die $m$ -te Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ . Existiert die $m$ -te Ableitung in jedem Punkt $x_{0} \in X$ , so heisst $f$ in $X$ $m$ -fach differenzierbar.

Mit $C^{m} (X, K^{n})$ bezeichnen wir die Menge der in $X$ $m$ -fach differenzierbaren Funktionen, für die $f^{(m)}$ stetig in $X$ ist. Weiterhin ist $C^{\infty} (X, K^{n})$ die Menge der in $X$ beliebig oft differenzierbaren Funktionen.

Mit $C^{m} ([a, b], K^{n})$ bezeichnen wir die Menge der Funktionen $f \in C ([a, b], K^{n}) \cap C^{m} (] a, b [, K)$ , deren erste $m$ Ableitungen sich stetig auf $[a, b]$ fortsetzen lassen, d.h. es gibt Funktionen $ϕ_{k} \in C ([a, b], K^{n})$ , so dass

ϕ_{k} |_{]} a, b [= f^{(k)}, k = 1, \dots, m .

Dabei nutzt man oft die Bezeichnung $\begin{array}{rcl} f^{(k)} (a) & : = & f^{(k)} (a + 0) = lim_{x \to a + 0} f^{(k)} (x) = ϕ_{k} (a), \\ f^{(k)} (b) & : = & f^{(k)} (b - 0) = lim_{x \to b - 0} f^{(k)} (x) = ϕ_{k} (b) . \end{array}$

Diese Grenzwerte existieren für $k = 1, \dots m$ falls $f \in C^{m} ([a, b], K^{n})$ und sind eindeutig bestimmt.

[next] [front] [up]