Linearitat, Produkt- und Kettenregel.

Theorem 3.3.1. Es sei $K \in {ℝ, ℂ}$ und $X$ sei eine offene Teilmenge von $K$ sowie $x_{0} \in X$ . Wir betrachten Funktionen $f, f_{1}, f_{2} : X \to K^{n}$ und $g : X \to K$ , sowie $ψ : Y \to X$ mit $ψ (y_{0}) = x_{0}$ , wobei $y_{0}$ ein Punkt der offenen Menge $Y \subset K$ ist.

Die Funktionen $f$ , $f_{1}$ , $f_{2}$ und $g$ seien im Punkt $x_{0}$ differenzierbar und $ψ$ sei im Punkt $y_{0}$ differenzierbar. Dann existieren die folgenden Ableitungen $\begin{array}{rcl} {(f_{1} + f_{2})}^{'} (x_{0}) & = & f_{1}^{'} (x_{0}) + f_{2}^{'} (x_{0}), & (3.20) \\ {(α f)}^{'} (x_{0}) & = & α f^{'} (x_{0}), α \in K, & (3.21) \\ (g \cdot f) (x_{0}) & = & g^{'} (x_{0}) f (x_{0}) + g (x_{0}) f^{'} (x_{0}), & (3.22) \\ {(f \circ ψ)}_{y}^{'} (y_{0}) & = & f_{x}^{'} (x_{0}) ψ_{y}^{'} (y_{0}) = (f_{x}^{'} \circ ψ) (y_{0}) ψ_{y}^{'} (y_{0}) . & (3.23) \end{array}$

Beweis. Die Linearität der Ableitung folgt sofort aus der Linearität des Grenzwertes und des Differentialquotienten. Unter Anwendung der Landau-Symbole und Satz 3.2.7 kann man z.B. zum Beweis von (3.20) auch folgendermassen argumentieren: Aus

f_{1} (x_{0} + h) - f_{1} (x_{0}) = h f_{1}^{'} (x_{0}) + o (h), f_{2} (x_{0} + h) - f_{2} (x_{0}) = h f_{2}^{'} (x_{0}) + o (h)

für $h \to 0$ folgt

(f_{1} + f_{2}) (x_{0} + h) - (f_{1} + f_{2}) (x_{0}) \overset{h \to 0}{=} h F + o (h), F = f_{1}^{'} (x_{0}) + f_{2}^{'} (x_{0}) .

Nach Satz 3.2.7 ist damit $f_{1} + f_{2}$ in $x_{0}$ differenzierbar und ${(f_{1} + f_{2})}^{'} (x_{0}) = F$ .

Zum Beweis von (3.22) gehen wir wiederum von

g (x_{0} + h) - g (x_{0}) = h g^{'} (x_{0}) + o (h), f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = h f^{'} (x_{0}) + o (h)

für $h \to 0$ aus. Da $f$ im Punkt $x_{0}$ zudem stetig ist, gilt $\begin{array}{rcl} (g f) (x_{0} + h) - (g f) (x_{0}) & = & g (x_{0}) \underset{f^{'} (x_{0}) h + o (h)}{\underset{︸}{(f (x_{0} + h) - f (x_{0}))}} + \\ \underset{g^{'} (x_{0}) h + o (h)}{\underset{︸}{(g (x_{0} + h) - g (x_{0}))}} \underset{f (x_{0}) + o (1)}{\underset{︸}{f (x_{0} + h)}} \\ \overset{h \to 0}{=} & (g (x_{0}) f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}) f (x_{0})) h + \underset{o (h)}{\underset{︸}{o (h) o (1)}} + \\ \underset{o (h)}{\underset{︸}{g (x_{0}) o (h)}} + \underset{o (h)}{\underset{︸}{o (h) f (x_{0})}} + \underset{h o (1) = o (h)}{\underset{︸}{g^{'} (x_{0}) h o (1)}} \end{array}$

Hier haben wir neben (3.15) und Satz 3.2.8 auch (3.14) ausgenutzt. Daraus folgt

(g f) (x_{0} + h) - (g f) (x_{0}) = (g (x_{0}) f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}) f (x_{0})) h + o (h)

für $h \to 0$ , was zur Produktregel (3.22) äquivalent ist.

Zum Beweis der Kettenregel (3.23) setzen wir $ψ (y_{0}) = x_{0}$ und ausserdem $ψ (y_{0} + h) = x_{0} + k_{h}$ . Da $ψ$ im Punkt $y_{0}$ differenzierbar ist, gilt

k_{h} = ψ (y_{0} + h) - ψ (y_{0}) = ψ^{'} (y_{0}) h + o (h) für h \to 0 .

Insbesondere folgt $k_{h} \to 0$ für $h \to 0$ . Dann bedeutet die Differenzierbarkeit von $f$ im Punkt $x_{0}$ , dass $\begin{array}{rcl} f (ψ (y_{0} + h)) - f (ψ (y_{0})) & = & f (x_{0} + k_{h}) - f (x_{0}) \\ = & f^{'} (x_{0}) k_{h} + o (k_{h}) \\ = & f^{'} (x_{0}) (ψ^{'} (y_{0}) h + o (h)) + o (k_{h}) \\ = & f^{'} (x_{0}) ψ^{'} (y_{0}) h + o (h) + o (k_{h}) \end{array}$

für $h \to 0$ und damit auch $k_{h} \to 0$ . Für $k_{h} \to 0$ kann jede Funktion $ϕ \in o (k_{h})$ als Produkt $ϕ (k_{h}) = k_{h} \tilde{ϕ} (k_{h})$ mit $\tilde{ϕ} = o (1)$ dargestellt werden. Damit gilt

ϕ (k_{h}) = k_{h} \tilde{ϕ} (k_{h}) = (ψ^{'} (y_{0}) h + o (h)) \tilde{ϕ} (k_{h}) = (O (h) + o (h)) o (1) = o (h)

für $h \to 0$ , d.h. $ϕ \in o (k_{h})$ impliziert $ϕ (k_{\cdot}) = o (h)$ und

f (ψ (y_{0} + h)) - f (ψ (y_{0})) = f^{'} (x_{0}) ψ^{'} (y_{0}) h + o (h), h \to 0 .

Dies ist äquivalent zu (3.23). □

3.3.1 Linearität, Produkt- und Kettenregel.