Die Formel von Cauchy.

Theorem 3.5.4. Die Funktionen $f, g \in C ([a, b], ℝ)$ seien in $] a, b [$ differenzierbar und es gelte $g^{'} (x) \neq 0$ für alle $x \in] a, b [$ . Dann existiert ein Punkt $c \in] a, b [$ , so dass

\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} .

(3.25)

Beweis. Wir merken zunächst an, dass unter den Voraussetzungen des Satzes $g (a) \neq g (b)$ gilt. Sonst existiert nach dem Satz von Rolle ein $x_{0} \in] a, b [$ mit $g^{'} (x_{0}) = 0$ . Damit ist der Quotient auf der linken Seite der obigen Formel wohldefiniert. Es sei nun

ψ (x) = f (x) + λ g (x), x \in [a, b],

wobei der Koeffizient $λ$ als

λ = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)}

gewählt wird. Dann gilt $ψ \in C ([a, b], ℝ)$ sowie

ψ (b) = f (b) + λ g (b) = f (a) + λ g (a) = ψ (a) .

Nach dem Satz von Rolle existiert damit ein Punkt $c \in] a, b [$ , so dass

0 = ψ^{'} (c) = f^{'} (c) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} g^{'} (c) .

Da nach Voraussetzung $g^{'} (c) \neq 0$ , so ist dies äquivalent zu (3.25). □

3.5.3 Die Formel von Cauchy.