Ableitungen in reellen und komplexen Variablen

Entsprechend der Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen ist für Funktionen einer reellen Veränderlichen die Konvergenz in (3.1) an

{φ (f; h_{k}, x)}_{k = 1}^{\infty}

für beliebige Folgen reeller

h_{k} \to 0

zu verifizieren, für Funktionen einer komplexen Veränderlichen muss man hingegen beliebige Folgen komplexer

h_{k} \to 0

betrachten.

Es sei nun

f : X \to K_{2}^{n}

wobei

X

eine offene Teilmenge von

ℂ

ist. Wir betrachten einen Punkt

x_{0} \in X \cap ℝ

. Da die Menge

X_{R} = X \cap ℝ

eine offene Menge in

ℝ

ist (Beweisen Sie dies!), so ist

x_{0}

sowohl ein innerer Punkt von

X

bezüglich der Metrik in

ℂ

als auch ein innerer Punkt von

X_{R}

bezüglich der Metrik in

ℝ

. Wir können dann neben der Funktion

f

einer komplexen Veränderlichen auch deren Einschränkung

f |_{ℝ}

auf reelle Argumente betrachten und damit folgende zwei Ableitungen diskutieren

\begin{array}{rcl} (ℂ) - f^{'} (x_{0}) & = & lim_{\overset{h \to 0}{h \in ℂ}} φ (f; h, x_{0}), & (3.2) \\ (ℝ) - f^{'} (x_{0}) & = & lim_{\overset{h \to 0}{h \in ℝ}} φ (f |_{ℝ}; h, x_{0}) . & (3.3) \end{array}

Der Grenzwert (3.2) entspricht der Ableitung 3.1 von

f

als Funktion einer komplexen Variablen und wird komplexe Ableitung genannt. Existiert diese, so heisst

f

im Punkt

x_{0}

komplex differenzierbar. Der Grenzwert (3.3) entspricht der Ableitung 3.1 von

f |_{ℝ}

als Funktion einer reellen Variablen und wird reelle Ableitung genannt. Existiert dieser, so heisst

f

im Punkt

x_{0}

reell differenzierbar.

Theorem 3.1.2. Ist die Funktion $f$ im Punkt $x_{0} \in X \cap ℝ$ komplex differenzierbar, so ist diese Funktion in $x_{0}$ auch reell differenzierbar. Die komplexe und die reelle Ableitung stimmen dabei überein.

Beweis. Die Menge der komplexen Folgen ${h_{n}} \to 0$ enthält als Teilmenge die Menge der reellen Folgen ${h_{n}} \to 0$ . Der Satz folgt damit sofort aus der Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen. □

Example 3.1.3. Es sei $f$ $ℂ \to ℂ$ mit $f (x) = x = const$ . Dann gilt

φ (f; h, x) = \frac{1}{h} (c - c) = 0, h \in ℂ, h \neq 0,

und damit $f^{'} (x) = 0$ für $x \in ℂ$ . Falls $x \in ℝ$ , so gilt damit stets auch $(ℂ) - f^{'} (x) = (ℝ) - f^{'} (x) = 0$ .

Example 3.1.4. Es sei $f : ℂ \to ℂ$ mit $f (x) = x$ . Dann gilt

φ (f; h, x) = \frac{1}{h} ((x + h) - x) = \frac{h}{h} = 1, h \in ℂ, h \neq 0,

und damit $f^{'} (x) = 1$ für beliebige $x \in ℂ$ (und damit auch als komplexe oder reelle Ableitung in $ℝ$ ).

Example 3.1.5. Es sei $f : ℂ \ {0} \to ℂ$ mit $f (x) = \frac{1}{x}$ für $x \neq 0$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} φ (f; h, x) & = & \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} (\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}) \\ = & - \frac{1}{x (x + h)} \to - \frac{1}{x^{2}}, h \to 0, h \in ℂ . \end{array}$

und damit $f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ für $x \neq 0$ , $x \in ℂ$ (und damit auch als komplexe oder reelle Ableitung in $ℝ$ ).

Wir diskutieren jetzt Beispiele, bei denen die reelle Ableitung existiert, die komplexe Ableitung allerdings nicht.

Example 3.1.7. Es sei $f : ℂ \to ℂ$ , $f (x) = \bar{x}$ . Da $f |_{ℝ} (x) = \bar{x} = x$ , $x \in ℝ$ , so ist $f$ in $ℝ$ reell differenzierbar und $(ℝ) - f^{'} (x) = 1$ für $x \in ℝ$ . Auf der anderen Seite ist $f$ in keinem Punkt $x \in ℂ$ komplex differenzierbar. Tatschlich, da

φ (f; h, x) = \frac{1}{h} (\bar{x + h} - \bar{x}) = \bar{h} h^{- 1}, h \in ℂ, h \neq 0 .

Wählt man nun $h_{n}^{(1)} = n^{- 1} \to 0$ , so gilt ${φ (f; h_{n}^{(1)}, x)}_{n = 1}^{\infty} = {1}_{n = 1}^{\infty} \to 1$ . Für $h_{n}^{(2)} = i n^{- 1} \to 0$ gilt hingegen ${φ (f; h_{n}^{(2)}, x)}_{n = 1}^{\infty} = {- 1}_{n = 1}^{\infty} \to - 1$ . Damit existiert der Grenzwert $lim_{h \to 0; h \in ℂ} φ (f; h, x)$ nicht, also ist $f$ nicht komplex differenzierbar.

Example 3.1.8. Es sei $f : ℂ \to ℝ$ , $f (x) = | x |^{2} = x \bar{x}$ . Für $x \in ℝ$ gilt $f |_{ℝ} (x) = x^{2}$ . Damit ist $f$ auf $ℝ$ reell differenzierbar mit $(ℝ) - f^{'} (x) = 2 x$ , $x \in ℝ$ . Aus folgendem Satz folgt, dass die Ableitung von $f$ als Funktion einer komplexen Variablen hingegen in keinem einzigen Punkt $x \in ℂ$ existiert:

Theorem 3.1.9. Die Menge $X$ sei eine offene Teilmenge von $ℂ$ sowie $f : X \to ℝ^{n}$ , $n \in ℕ$ und $x_{0} \in X$ . Ist $f$ im Punkt $x_{0}$ als Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar, so gilt $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall $n = 1$ . Da $f$ nur reelle Werte annimmt, so ist

φ (f; h, x_{0}) = h^{- 1} (\underset{\in ℝ}{\underset{︸}{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}}), h \in ℂ, h \neq 0,

reell für reelle $h$ und rein imaginär für $Re h = 0$ . Da $f$ differenzierbar ist, so existiert der Grenzwert $f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0; h \in ℂ} φ (f; h, x_{0})$ . Betrachtet man eine Folge reeller $h_{n} \neq 0$ , $h_{n} \to 0$ , so ergibt sich nach der Folgendefinition

Im f^{'} (x_{0}) = lim_{h_{n} \to 0; h_{n} \in ℝ} φ (f; h_{n}, x_{0}) = 0 .

Für eine Folge rein imaginärer Werte $h_{n} \neq 0$ , $i h_{n} \in ℝ$ , $h_{n} \to 0$ , erhält man zudem

Re f^{'} (x_{0}) = lim_{h_{n} \to 0; i h_{n} \in ℝ} φ (f; h_{n}, x_{0}) = 0 .

Damit ist $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Den Fall $n \geq 1$ löst man durch Betrachtung der einzelnen Komponenten $π_{k} (f (x))$ . □

Problem 3.1.10. Beweisen Sie unter Anwendung von Satz 3.1.9, dass die Funktion $f (x) = | x |^{2}$ in keinem Punkt $x \in ℂ$ als Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar ist.

3.1.2 Ableitungen in reellen und komplexen Variablen