Die Quotientenregel.

Theorem 3.3.3. Es sei $K \in {ℝ, ℂ}$ und $X$ sei eine offene Teilmenge von $K$ sowie $x_{0} \in X$ . Wir betrachten die Funktionen $f, g : X \to K$ und es sei $g (x) \neq 0$ für $x \in X$ . Sind $f$ und $g$ im Punkt $x_{0}$ differenzierbar, so existieren die folgende Ableitung

{(\frac{f}{g})}^{'} (x_{0}) = \frac{d}{d x} {\frac{f}{g}|}_{x = x_{0}} = \frac{f^{'} (x_{0}) g (x_{0}) - f (x_{0}) g^{'} (x_{0})}{g^{2} (x_{0})} .

Beweis. Oben wurde bereits bewiesen, dass ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ , $x \in K$ , $x \neq 0$ . Nach (3.23) gilt

{(\frac{1}{g})}^{'} (x_{0}) = {(\frac{1}{x} \circ g)}^{'} (x_{0}) = (- \frac{1}{x^{2}} \circ g) (x_{0}) g^{'} (x_{0}) = - \frac{g^{'} (x_{0})}{{(g (x_{0}))}^{2}} .

Die Produktregel (3.22) impliziert

{(\frac{f}{g})}^{'} = {(f \cdot \frac{1}{g})}^{'} = f^{'} \cdot \frac{1}{g} + f {(\frac{1}{g})}^{'} = \frac{f^{'}}{g} - f \frac{g^{'}}{g^{2}} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}} .

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3.3.2 Die Quotientenregel.