Die Definition der Landau-Symbole.

3.2.1 Die Definition der Landau-Symbole.

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum, $X \subset M$ und $x_{0} \in acc (X)$ . Wir betrachten zwei Funktionen $f, g : X \to K^{n}$ mit $K \in {ℝ, ℂ}$ und $n \in ℕ$ . Weiterhin sei $∥ \cdot ∥$ die Norm in $K^{n}$ .

Definition 3.2.1. Man schreibt $\begin{array}{rcl} f \overset{x \to x_{0}}{=} O (g) & \Leftrightarrow & \exists_{δ > 0} \exists_{C \in ℝ} \forall_{x \in X \cap U_{δ} (x_{0})} ∥ f (x) ∥ \leq C ∥ g (x) ∥, & (3.4) \\ f \overset{x \to x_{0}}{=} o (g) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{δ_{ε} > 0} \forall_{x \in X \cap U_{δ_{ε}} (x_{0})} ∥ f (x) ∥ \leq ε ∥ g (x) ∥ . & (3.5) \end{array}$

Diese Definition kann man auch auf den Fall übertragen, dass $f$ und $g$ Werte in verschiedenen normierten Räumen annehmen. Zudem lassen sich (analog zum Punkt 2.10.5) die Definitionen von $o$ und $O$ formal auf die Fälle $x_{0} = \infty$ oder $x_{0} = \pm \infty$ ausweiten.

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