Diskussion der reellen und der komplexen Abbleitung.

Wir betrachten eine Funktion $f:X\to ℂ$, die Menge $X$ ist offen in $ℂ$ und $x_0\in X_{ℝ}=X\cap ℝ$. Betrachtet man den Differenzenquotienten für die reelle Ableitung, so sieht man wegen $h\in ℝ$, dass $$\begin{array}{rcll}\text{Re}\phi \left(f{|}_{ℝ};h,x_0\right)& =& h^{-1}\left(\text{Re}f{|}_{ℝ}\left(x_0+h\right)-\text{Re}f{|}_{ℝ}\left(x_0\right)\right)=\phi \left(\text{Re}f{|}_{ℝ};h,x\right),& \\ \text{Im}\phi \left(f{|}_{ℝ};h,x_0\right)& =& h^{-1}\left(\text{Im}f{|}_{ℝ}\left(x_0+h\right)-\text{Im}f{|}_{ℝ}\left(x_0\right)\right)=\phi \left(\text{Im}f{|}_{ℝ};h,x\right).& \end{array}$$

Nach Aufgabe 2.10.11 ist $f$ damit in Punkt $x_0$ genau dann reell differenzierbar, wenn sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil von $f$ in $x_0$ reell differenzierbar sind, und es gilt

Ist $f$ in $x_0$ komplex differenzierbar, so sind nach Satz 3.1.2 $f$ und damit auch $\text{Re}f$ sowie $\text{Im}f$ in $x_0$ reell differenzierbar. Umgekehrt ist die Existenz der reellen Abbleitungen von $\text{Re}f$ und $\text{Im}f$ im Allgemeinen nicht hinreichend für die Existenz der komplexen Ableitung von $f$ in $x_0$ (siehe Beispiel 3.1.7).

Die komplexe Differenzierbarkeit von $f$ in $x_0$ impliziert nicht die Existenz komplexer Ableitungen von $\text{Re}f$ sowie $\text{Im}f$ in $x_0$. Tatschlich, sowohl $\text{Re}f$ als auch $\text{Im}f$ sind reellwertige Funktionen und damit nach Satz 3.1.9 nur dann komplex differenzierbar, wenn diese Ableitungen verschwinden. Schon am Beispiel $f\left(x\right)=x$ erkennt man, dass dies im Allgemeinen nicht der Fall ist. Damit lässt sich die komplexe Differenzierbarkeit von $f$ nicht in eine komplexe Differenzierbarkeit des Real- und des Imaginärteiles aufspalten, es ist dies eine Eigenschaft der komplexwertigen Funktion als Einheit von Real- und Imaginärteil.

Damit sind im Rahmen der Differentialrechnung in einer Variablen im wesentlichen die folgenden zwei Fälle zu diskutieren

Der Fall $f:X\subset ℂ\to {ℝ}^n$ ist nach Satz 3.1.9 trivial; für Funktionen $f:X\subset ℝ\to {ℂ}^n$ betrachtet man die Ableitungen der Real- und Imaginärteile der Vektorkomponenten individuell.